线性代数1.3行列式按行展开

主要内容：

1. 行列式按行（列）展开

即：某行元素 X 自己的代数余子式 = 行列式D的值

2. 异乘变零定理

即：某行元素 X 另一行元素的代数余子式 =  0

3.行列式相乘定理

（1.可以降阶）

（2.选择0多的行或者列展开）因为需要乘以这个元素本身

余子式：去掉某一元素所在的行和列后，将剩下的元素按原来的顺序排列成新的行列式，这个行列式就叫做被去掉元素的余子式。用M表示余子式

如下图为 M32 的余子式，即原行列式 3行2列元素的余子式

代数余子式：前面多一个符号，3+2表示所在行列，用A 表示代数余子式

（按某行展开）

i 行的每个元素和他自己的代数余子式的乘机和 就是行列式的值

D =   某行元素 X 自己的代数余子式

D =  +  +……+

 小写的 是某一行的元素（第 i 行的元素）

大写的 是这个元素对应的（他自己的）代数余子式

（按某列展开）也一样

D = ++……+

某行元素与另一行元素的代数余子式相乘，乘机之和等于0

 2.2 证明过程：

图一：用第四行的元素与第一行的代数余子式相乘

图一

图二：按第一行展开

图二

 此时，此行列式的值 D= 某行元素 X 自己的代数余子式。同时，根据行列式的性质，行列式两行相等，值为0 

 按第一行展开：

图一与图二展开相同，因此图一的结果也为0 

拉普拉斯定理：

定义：

K阶子式：任意取K行，K列，交叉线上的元素

 2阶子式余子式，去掉子式所在行和列，剩余的子式

 代数余子式，前面加符号（去掉的行列放在一起1+2+1+2）

 拉普拉斯展开定理：（某些特殊的行列式用此定理展开是比较容易的）

任意取定K行，由K行元素组成的所有K阶子式与代数余子式乘  机之和，等于行列式D的值

比如，取两行时，对应地该取两列。但在该行列式中，只有取1,2两列时，才不是0。等于0就不用算了。因此该行列式的值如上图所示

同阶行列式才能用这个定理来做题

行列式相乘：与矩阵相乘一样

如下图所示 的不同阶的行列式相乘时，可以直接把单个的行列式先算出来再相乘