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线性代数学习点(五):向量运算规则的几何表示

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原文链接:http://thejuniverse.org/PUBLIC/LinearAlgebra/LOLA/geomVect/calc.html

翻译过程稍有删减

        前面已经介绍了最基本的向量相加及向量数乘。在实际中,向量的运算往往是这两种基本运算的复合,这就需要一些运算的规则。向量绝大部分的运算规则与标量对应的运算规则一致。

        第一条规则是:向量相加满足交换律。用更数学化的语言可表述为:对任意向量u 和 v,有如下等式成立: u + v = v + u.

        这点很好理解,下图为采用平行四边形法则的向量相加几何示意图,无论是u 和加v,还是  vu,结果都是以uv两个向量为边构成的平行四边形的对角线。

                                
        若有三个或者三个以上的向量相加,结果又如何呢?三角形法则告诉我们,将这些向量的起点和终点相连,则以第一个向量的起点为起点,以最后一个向量的终点为终点,构成的这个向量即为和向量,如下图所示。

                               

        上述规则无疑是正确的。但从技术上来讲,向量相加的法则仅定义了两个向量相加。因此,我们必须确保上述法则在只有两个向量相加时也是正确的。因此,我们还需要如下的规则:即向量相加满足结合律。用更数学化的语言可表述为:对任意向量u 、vw,有如下等式成立:  (u + v)+ w = u + (v + w).

        下图给出了向量加法结合律的几何图示。上面是等式左边的相加结果,下面是等式右边的相加结果。可以看出,结果都是黑色的向量。

                

                

         利用交换律和结合律这两个规则,我们就可以解决任意多个向量以任意次序相加的问题。

        前面我们仅给出了向量相加运算法则在二维空间的几何示意图。下图给出了三个向量在三维空间相加的几何示意图。图中三个向量处于不同的平面,我们可以先将他们的起点放置在一起,然后先利用平行四边形法则计算u + v,然后再利用三角形法则计算(u + v)+ w。由图可以看出,和向量实际上是由u、 v、w三个向量构成的平行六面体的对角线。因此,在三维空间,向量相加的法则也称为平行六面体法则,这是二维空间到三维空间的自然推广。在数学抽象上,这样的法则还可以推广到三维以上的空间,只是无法给出具体的几何示意图。

                                

        上面我们讨论了多个向量相加的问题。对数乘运算,假定现在有两个数c 和 d,都要和向量v进行数乘运算,那么运算的次序有关系吗?可以证明,数乘运算时,先用那个数进行数乘并不影响最终的结果,即有:c(dv) =d(cv) = (cd)v.

        如果c 和 d均为正数,那么很明显,上述三种运算所得的结果相同,并且仍然是一个向量,其方向与v相同,其长度为v的长度乘以cd。如果c 和 d有一个为负数或者两者均为负数,上述三种运算就必须要考虑方向的变反的情况,但注意到,在三种运算中,向量方向变反的次数是一样的,因此,三种运算所得的结果仍然相同。这即说明上述数乘满足交换律的运算规则是有效的。

        我们再考虑更复杂一些的情况,几个向量之间的运算不仅有加法,还有数乘运算,这时就需要分配率。这里,分两种情况来讨论。

        第一种情况是两个数相加后再与向量相乘。此时的运算规则如下:两个数相加之后再与向量相乘,等于两个数分别与向量相乘后再相加。用数学公式可表示为:对于任意的数c,d及任意的向量v,有:

                (c + d)v =cv +dv.

        如果c 和 d均为正数,如下图所示,那么从图很容易看出,上述等式两边的运算结果相同,结果均为向量,其方向与v相同,长度为v的长度乘以(c +d)。

                                 

        如果c 和 d有一个为负数,或者均为负数,上述分配率规则同样有效,但所得向量的方向与(c+d)的取值有关,可能与v相同,也可能与v相反。

        再来考虑另外一种情况,一个数与两个向量相加的结果相乘,此时的运算规则如下:一个数与两个向量相加的结果相乘,等于这个数分别与这两个向量单独相乘,然后再相加。用数学公式可表示为:对于任意的数c,d及任意的向量v,有:

                c(u + v) = cu + cv.

        对这条规则的理解与第一种情况的完全类似,下图给出了一个这种情况下的几何示意图。

                        

        综合这两种情况,用更口语化的方式,分配率可统一表述为:相加之后的相乘与相乘之后的相加相等。



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