线性代数行列式计算(线性代数矩阵的乘法运算)

本文是过期煎饼《机器学习》的第15个视频笔记，对应第1周的第15个视频。

“线性代数复习(可选)——矩阵向量乘法”

最后一节讲了矩阵加法、矩阵乘法和标量乘法。此外，矩阵还可以乘以矩阵。这一节讲一个稍微特殊的情况，就是矩阵乘以向量。

00-1010如下图所示，将32矩阵乘以2维列向量，会得到什么样的结果？

操作规则如下：

从上图可以看出，矩阵和向量的乘法规则很有意思。矩阵和向量相乘得到一个新的列向量。列向量的维数就是矩阵的行数，矩阵的形状和方程左侧的向量也是有意义的。矩阵的列数必须等于向量的维数，这样矩阵和向量的乘法才能进行。在上面的例子中，一个3x2矩阵乘以一个2x1向量，得到一个3x1向量。

一个示例将上述特例抽象成更一般的形式如下所示：

一个mn矩阵乘以一个n1向量。这里需要注意的是，矩阵的列数必须等于要相乘的向量的行数，结果是一个m1的向量。

而且，我们还可以看到，矩阵和向量相乘时的顺序也很重要。列向量乘以矩阵，矩阵必须在前面，列向量必须在后面。例如：

那么，矩阵和向量相乘有什么用呢？

我们以卖房子为例。假设我有四套房，每套房面积不同，我确定了房子面积和房子售价之间的线性模型。

下图：

上图中，如果把左边四套房的面积代入右边的公式，就可以分别得到四套房的价格。如果用刚才提到的矩阵和向量的乘法来表达上面的事情，写出来的公式会很漂亮。下图：

我们拉出模型中的两个参数，形成一个列向量。然后，因为-40参数对应1，0.25对应X，我们得到一个42的矩阵，矩阵的第一列全是1。上图下半部分我们会得到这样一个矩阵和向量相乘的公式，然后我们就可以用前面提到的矩阵和向量相乘的运算规则，用一个公式来表示四套房子卖价的计算，是不是很牛逼？

有些学生可能会觉得这种写法多余，比较麻烦。需要注意的是，现在我们的基本操作都是由计算机实现的，用代码写这样的过程更容易，这样一行代码就可以完成这样的事情，房子数量的增加也不会影响程序的结构，非常方便。如果没有这样的规则，我们可能需要for循环在代码中实现这一点，这有点麻烦。

下节课将介绍更一般的矩阵和矩阵乘法。