简单k-近邻算法原理(三)

k近邻法(k-nearest neighbor, k-NN)是1967年由Cover T和Hart P提出的一种基本分类与回归方法。它的工作原理是：存在一个样本数据集合，也称作为训练样本集，并且样本集中每个数据都存在标签，即我们知道样本集中每一个数据与所属分类的对应关系。输入没有标签的新数据后，将新的数据的每个特征与样本集中数据对应的特征进行比较，然后算法提取样本最相似数据(最近邻)的分类标签。一般来说，我们只选择样本数据集中前k个最相似的数据，这就是k-近邻算法中k的出处，通常k是不大于20的整数。最后，选择k个最相似数据中出现次数最多的分类，作为新数据的分类。

    举个简单的例子，我们可以使用k-近邻算法分类一个电影是爱情片还是动作片。

    表1.1就是我们已有的数据集合，也就是训练样本集。这个数据集有两个特征，即打斗镜头数和接吻镜头数。除此之外，我们也知道每个电影的所属类型，即分类标签。用肉眼粗略地观察，接吻镜头多的，是爱情片。打斗镜头多的，是动作片。以我们多年的看片经验，这个分类还算合理。如果现在给我一部电影，你告诉我这个电影打斗镜头数和接吻镜头数。不告诉我这个电影类型，我可以根据你给我的信息进行判断，这个电影是属于爱情片还是动作片。而k-近邻算法也可以像我们人一样做到这一点，不同的地方在于，我们的经验更”牛逼”，而k-邻近算法是靠已有的数据。比如，你告诉我这个电影打斗镜头数为2，接吻镜头数为102，我的经验会告诉你这个是爱情片，k-近邻算法也会告诉你这个是爱情片。你又告诉我另一个电影打斗镜头数为49，接吻镜头数为51，我”邪恶”的经验可能会告诉你，这有可能是个”爱情动作片”，画面太美，我不敢想象。 (如果说，你不知道”爱情动作片”是什么？请评论留言与我联系，我需要你这样像我一样纯洁的朋友。) 但是k-近邻算法不会告诉你这些，因为在它的眼里，电影类型只有爱情片和动作片，它会提取样本集中特征最相似数据(最邻近)的分类标签，得到的结果可能是爱情片，也可能是动作片，但绝不会是”爱情动作片”。当然，这些取决于数据集的大小以及最近邻的判断标准等因素。

1.2 距离度量

    我们已经知道k-近邻算法根据特征比较，然后提取样本集中特征最相似数据(最邻近)的分类标签。那么，如何进行比较呢？比如，我们还是以表1.1为例，怎么判断红色圆点标记的电影所属的类别呢？如图1.1所示。

    我们可以从散点图大致推断，这个红色圆点标记的电影可能属于动作片，因为距离已知的那两个动作片的圆点更近。k-近邻算法用什么方法进行判断呢？没错，就是距离度量。这个电影分类的例子有2个特征，也就是在2维实数向量空间，可以使用我们高中学过的两点距离公式计算距离，如图1.2所示。

    通过计算，我们可以得到如下结果：

• (101,20)->动作片(108,5)的距离约为16.55
• (101,20)->动作片(115,8)的距离约为18.44
• (101,20)->爱情片(5,89)的距离约为118.22
• (101,20)->爱情片(1,101)的距离约为128.69

    通过计算可知，红色圆点标记的电影到动作片 (108,5)的距离最近，为16.55。如果算法直接根据这个结果，判断该红色圆点标记的电影为动作片，这个算法就是最近邻算法，而非k-近邻算法。那么k-邻近算法是什么呢？k-近邻算法步骤如下：

1. 计算已知类别数据集中的点与当前点之间的距离；
2. 按照距离递增次序排序；
3. 选取与当前点距离最小的k个点；
4. 确定前k个点所在类别的出现频率；
5. 返回前k个点所出现频率最高的类别作为当前点的预测分类。

    比如，现在我这个k值取3，那么在电影例子中，按距离依次排序的三个点分别是动作片(108,5)、动作片(115,8)、爱情片(5,89)。在这三个点中，动作片出现的频率为三分之二，爱情片出现的频率为三分之一，所以该红色圆点标记的电影为动作片。这个判别过程就是k-近邻算法。