为什么某些浮点<整数比较比其他的慢四倍？

浮点对象的 Python 源代码中的注释承认：

比较几乎是一场噩梦

在将浮点数与整数进行比较时尤其如此，因为与浮点数不同，Python
中的整数可以任意大并且总是精确的。尝试将整数转换为浮点数可能会丢失精度并使比较不准确。尝试将浮点数转换为整数也不行，因为任何小数部分都会丢失。

为了解决这个问题，Python
执行了一系列检查，如果其中一个检查成功，则返回结果。它比较两个值的符号，然后整数是否“太大”而不能成为浮点数，然后将浮点数的指数与整数的长度进行比较。如果所有这些检查都失败，则需要构造两个新的
Python 对象进行比较以获得结果。

将 floatv与 integer/long进行比较时w，最坏的情况是：

• 
  v并w具有相同的符号（均为正或均为负），


• 整数w的位数很少，可以保存在size_t类型中（通常为 32 或 64 位），


• 整数w至少有 49 位，


• 浮点数的指数与v中的位数相同w。

这正是我们对问题中的值所拥有的：

>>> import math
>>> math.frexp(562949953420000.7) # gives the float's (significand, exponent) pair
(0.9999999999976706, 49)
>>> (562949953421000).bit_length()
49


我们看到 49 既是浮点数的指数，也是整数的位数。这两个数字都是正数，因此符合上述四个标准。

选择更大（或更小）的值之一可以改变整数的位数或指数的值，因此 Python 能够确定比较的结果，而无需执行昂贵的最终检查。

这是特定于该语言的 CPython 实现的。

比较详细

该函数处理两个值和float_richcompare之间的比较。v``w

以下是该函数执行的检查的分步说明。Python
源代码中的注释在试图理解函数的作用时实际上非常有帮助，因此我将它们留在了相关的地方。我还在答案底部的列表中总结了这些检查。

主要思想是将 Python 对象映射v到w两个适当的 C 双精度i和j，然后可以很容易地比较它们以给出正确的结果。Python 2 和
Python 3 都使用相同的想法来做到这一点（前者只是分别处理int和long类型）。

首先要做的是检查这v绝对是一个 Python 浮点数并将其映射到一个 C 双精度数i。接下来，该函数查看是否w也是一个浮点数并将其映射到 C
中的 double j。这是该功能的最佳情况，因为可以跳过所有其他检查。该函数还检查是否v是inf或nan：

static PyObject*
float_richcompare(PyObject *v, PyObject *w, int op)
{
double i, j;
int r = 0;
assert(PyFloat_Check(v));
i = PyFloat_AS_DOUBLE(v);
if (PyFloat_Check(w))
j = PyFloat_AS_DOUBLE(w);
else if (!Py_IS_FINITE(i)) {
if (PyLong_Check(w))
j = 0.0;
else
goto Unimplemented;
}


现在我们知道，如果w这些检查失败，它就不是 Python 浮点数。现在该函数检查它是否是 Python
整数。如果是这种情况，最简单的测试是提取的符号v和符号w（0如果为零，-1如果为负，1如果为正则返回）。如果符号不同，这就是返回比较结果所需的所有信息：

else if (PyLong_Check(w)) {
int vsign = i == 0.0 ? 0 : i <0.0 ? -1 : 1;
int wsign = _PyLong_Sign(w);
size_t nbits;
int exponent;
if (vsign != wsign) {
/* Magnitudes are irrelevant -- the signs alone
* determine the outcome.
*/
i = (double)vsign;
j = (double)wsign;
goto Compare;
}
}


如果此检查失败，则v和w具有相同的符号。

下一个检查计算整数中的位数w。如果它有太多位，那么它不可能保持为浮点数，因此其大小必须大于浮点数v：

nbits = _PyLong_NumBits(w);
if (nbits == (size_t)-1 && PyErr_Occurred()) {
/* This long is so large that size_t isn't big enough
* to hold the # of bits. Replace with little doubles
* that give the same outcome -- w is so large that
* its magnitude must exceed the magnitude of any
* finite float.
*/
PyErr_Clear();
i = (double)vsign;
assert(wsign != 0);
j = wsign * 2.0;
goto Compare;
}


另一方面，如果整数w有 48 位或更少位，它可以安全地转入 C 双精度j并进行比较：

if (nbits <= 48) {
j = PyLong_AsDouble(w);
/* It's impossible that <= 48 bits overflowed. */
assert(j != -1.0 || ! PyErr_Occurred());
goto Compare;
}


从这一点开始，我们知道w有 49 位或更多位。将其视为正整数会很方便w，因此根据需要更改符号和比较运算符：

if (nbits <= 48) {
/* "Multiply both sides" by -1; this also swaps the
* comparator.
*/
i = -i;
op = _Py_SwappedOp[op];
}


现在该函数查看浮点数的指数。回想一下，浮点数可以写（忽略符号）为有效数 * 2指数，有效数表示 0.5 和 1 之间的数字：

(void) frexp(i, &exponent);
if (exponent <0 || (size_t)exponent i = 1.0;
j = 2.0;
goto Compare;
}


这检查了两件事。如果指数小于 0，则浮点数小于 1（因此在幅度上小于任何整数）。或者，如果指数小于位数，w那么我们就有了，v <|w|因为有效位
* 2指数小于 2 nbits。

如果这两项检查失败，函数会查看指数是否大于 中的位数w。这表明有效数 * 2指数大于 2 nbits，因此v > |w|：

if ((size_t)exponent > nbits) {
i = 2.0;
j = 1.0;
goto Compare;
}


如果此检查不成功，我们知道浮点数的指数v与整数中的位数相同w。

现在可以比较这两个值的唯一方法是从v和构造两个新的 Python 整数w。这个想法是丢弃
的小数部分v，将整数部分加倍，然后加一。w也加倍，这两个新的 Python 对象可以进行比较以给出正确的返回值。使用具有小值的示例，4.65 <
4将由比较确定(2*4)+1 == 9 <8 == (2*4)（返回 false）。

{
double fracpart;
double intpart;
PyObject *result = NULL;
PyObject *One= NULL;
PyObject *vv = NULL;
PyObject *ww = w;
// snip
fracpart = modf(i, &intpart); // split i (the double that v mapped to)
vv = PyLong_FromDouble(intpart);
// snip
if (fracpart != 0.0) {
/* Shift left, and or a 1 bit into vv
* to represent the lost fraction.
*/
PyObject *temp;
One= PyLong_FromLong(1);
temp = PyNumber_Lshift(ww, one); // left-shift doubles an integer
ww = temp;
temp = PyNumber_Lshift(vv, one);
vv = temp;
temp = PyNumber_Or(vv, one); // a doubled integer is even, so this adds 1
vv = temp;
}
// snip
}
}


为简洁起见，我省略了 Python
在创建这些新对象时必须执行的额外错误检查和垃圾跟踪。不用说，这增加了额外的开销，并解释了为什么问题中突出显示的值比其他值要慢得多。

以下是比较功能执行的检查的摘要。

让我们v成为一个浮点数并将其转换为 C 双精度。现在， ifw也是一个浮点数：

• 检查w是nan还是inf。如果是这样，请根据w.




• 如果不是，请直接比较v它们w的表示，因为 C 加倍。

如果w是整数：

• 提取 和 的v符号w。如果它们不同，那么我们知道v并且w不同，哪个是更大的价值。




• （ 符号相同。 ）检查是否w有太多位成为浮点数（超过size_t）。如果是，w则具有比 更大的幅度v。




• 检查是否w有 48 位或更少的位。如果是这样，它可以安全地转换为 C double 而不会失去其精度并与v.




• （ w 超过 48 位。我们现在将w视作更改比较操作的正整数。）




• 考虑 float 的指数v。如果指数为负，则v小于1因此小于任何正整数。否则，如果指数小于 中的位数，w则它必须小于w。




• 如果 的指数v大于 中的位数，w则v大于w。




• （ 指数与 中的位数相同w。）




• 最后的检查。分成v整数部分和小数部分。将整数部分加倍并加 1 以补偿小数部分。现在将整数加倍w。比较这两个新整数以获得结果。