如何判断单链表中有环及证明过程

 

 

问题：

1.如何判断单链表里面是否有环？

算法的思想是设定两个指针p, q，其中p每次向前移动一步，q每次向前移动两步。那么如果单链表存在环，则p和q相遇；否则q将首先遇到null。
这里主要理解一个问题，就是为什么当单链表存在环时，p和q一定会相遇呢？

假定单链表的长度为n，并且该单链表是环状的，那么第i次迭代时，p指向元素i mod n，q指向2i mod n。因此当i≡2i(mod n)时，p与q相遇。而i≡2i(mod n) => (2i - i) mod n = 0 => i mod n = 0 => 当i=n时，p与q相遇。这里一个简单的理解是，p和q同时在操场跑步，其中q的速度是p的两倍，当他们两个同时出发时，p跑一圈到达起点，而q此时也刚好跑完两圈到达起点。
那么当p与q起点不同呢？假定第i次迭代时p指向元素i mod n，q指向k+2i mod n，其中0 (i+k) mod n = 0 => 当i=n-k时，p与q相遇。

这里的关键是理解，其实，快指针和慢指针虽然一开始不在环里，但是当他们都进入环里的时候，其实这个问题的模型相当于两个指针在环里起点不同的模型。

懂了这点，后续很多证明都好理解了。

扩展阅读：

推广：

1. 如果两个指针的速度不一样，比如p，q，( 0

    Sp(i) = pi

    Sq(i) = k + qi

   如果两个要相交于一个节点，则 Sp(i) = Sq(i) =>  (pi) mod n = ( k+ qi ) mod n =>[ (q -p)i + k ]  mod n =0

   =>  (q-p)i + k  = Nn [N 为自然数]

   =>  i = (Nn -k) /(p-q)

   i取自然数，则当 p，q满足上面等式 即 存在一个自然数N，可以满足Nn -k 是 p - q 的倍数时，保证两者相交。

   特例：如果q 是p 的步长的两倍，都从同一个起点开始，即 q = 2p , k =0, 那么等式变为： Nn=i： 即可以理解为，当第i次迭代时，i是圈的整数倍时，两者都可以交，交点就是为起点。

2.如何判断单链表的环的长度？

   这个比较简单，知道q 已经进入到环里，保存该位置。然后由该位置遍历，当再次碰到该q 位置即可，所迭代的次数就是环的长度。

3. 如何找到链表中第一个在环里的节点？

   假设链表长度是L，前半部分长度为k-1，那么第一个再环里的节点是k，环的长度是 n， 那么当q=2p时， 什么时候第一次相交呢？当q指针走到第k个节点时，q指针已经在环的第 k mod n 的位置。即p和q 相差k个元素，从不同的起点开始，则相交的位置为 n-k, 则有了下面的图：

从图上可以明显看到，当p从交点的位置（n-k) ,向前遍历k个节点就到到达环的第一个几点，节点k.

算法就很简单： 一个指针从p和q 中的第一次相交的位置起（n-k)，另外一个指针从链表头开始遍历，其交点就是链表中第一个在环里的交点。