网络安全之对称密码（二）

数论简介

该部分简单介绍数论基础，包括整除性，欧几里得（Euclid）算法和模算术。

1.整除性和除法

• 1.1 整除性

设a，b，m是整数，若a＝mb，我们说非零整数b整除a，用b｜a表示。
a是被除数，b是除数。
//摘自《密码编码学与网络安全》

我还以为整除性是什么高深的东西，其实就是小学里的整除而已，除完没余数。

性质：
a) 如果a｜1，则a ＝ 1/－1；
b) 如果a｜b且b｜a，则 a ＝ b／－b；
c) 任意非零数b整除0；
d) 若a｜b且b｜c，则a｜c；
e) 若b｜g且b｜h，则对任意整数m，n有b｜（mg＋nh）；
f) 若b｜g，则存在某个整数g1，使得g可写为g ＝ bg1；

• 1.2 除法

给定任意正整数n和任意非负整数a，若用n除a，我们得到一个整数商q和一个整数余数r，他们服从下面关系：
a ＝ qn ＋ r (0<= r //摘自《密码编码学与网络安全》

我又以为除法是什么高深的东西，其实就是小学里的除法而已。

2.欧几里得（Euclid）算法

欧几里得（Euclid）算法是求两个正整数最大共因子的简单过程。
//摘自《密码编码学与网络安全》

• 最大共因子

  称c为a，b的最大共因子，若：
  1）c是a，b的因子；
  2）a，b的任何因子都是c的因子；
  记作c ＝ gcd（a，b）。
  简单来说：能够同时整除a，b的最大整数。
  //摘自《密码编码学与网络安全》

  a，b互素：a，b的唯一正共因子为1。

• 求最大共因子
  数据结构学过辗转相除法，这地方讲了个欧几里得算法，我们来看看。
  啊～看完之后才明白，欧几里得算法就是辗转相除算法，这里只不过是将其正确性做了一个证明：
  
  

3.模运算
- 定义：略。
- 性质：略。
- 模运算：略。
- 模运算性质：略。

4.修改的欧几里得算法

Euclid(a, b)
    if b = 0 then 
        return a;
    else 
        return Euclid(b, a mod b);

区别：欧几里得算法循环使用除法运算思想，修改的欧几里得算法循环使用取模运算思想。

5.扩展的欧几里得算法

ax + by = d = gcd(a, b);
性质：ax + by 的最小正整数等于gcd(a, b)。

e_gcd(a, b, x, y)   
    if( b == 0 ) then
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    end if

    ans = e_gcd(b, a mod b, x, y);
    temp = x;
    x = y;
    y = temp - a/b*y;
    return ans;
end

详细推到移步大神博客： 扩展欧几里得算法详解

该部分对除法，模，最大共因子等进行简介，都是极为基础的数学知识点。