同余概念、运算规则及其实际应用解析

作者：森__林蘑菇 | 来源：互联网 | 2024-10-26 10:50

同余概念是指当两个整数除以同一个正整数时，如果它们的余数相同，则称这两个整数在该模数下同余。这种关系通常表示为$a\equivb\pmod{m}$，读作“a同余于b模m”。例如，17和5在模6下同余，因为它们除以6的余数都是5。同余关系在数论、密码学和计算机科学中有着广泛的应用，特别是在处理大数运算和周期性问题时。同余符号在数学文献中通常用≡表示，其Unicode编码为U+2261。

同余符号

两个整数 $a$ ， $b$ ，若它们除以正整数 $m$ 所得的余数相等，则称 $a$ ， $b$ 对于模 $m$ 同余

记作 $a \equiv b \pmod{m}$

读作 $a$ 同余于 $b$ 模 $m$ ，或读作 $a$ 与 $b$ 关于模 $m$ 同余。

比如 $26 \equiv 14 \pmod{12}$ 。

同余于的符号是同余相等符号 ≡。统一码值为 U+2261。但因为方便理由，人们有时会把它(误)写为普通等号 (=)。

性质

整除性

$a \equiv b \pmod{m} \Rightarrow c\cdot m=a-b, c \in \mathbb{Z}$ (即是说 a 和 b 之差是 m 的倍数)
换句话说， $a \equiv b \pmod{m} \Rightarrow m \mid(a-b)$ ^[1]

传递性

$\left. \begin{matrix}a \equiv b \pmod{m} \\b \equiv c \pmod{m}\end{matrix} \right\} \Rightarrow a \equiv c \pmod{m}$

保持基本运算

$\left. \begin{matrix}a \equiv b \pmod{m} \\c \equiv d\pmod{m}\end{matrix} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a \pm c \equiv b \pm d \pmod{m} \\ ac \equiv bd \pmod{m} \end{matrix} \right.$
这性质更可进一步引申成为这样：
$a \equiv b \pmod{m} \Rightarrow \begin{cases} an \equiv bn \pmod{m}, \forall n \in \mathbb{Z} \\ a^n \equiv b^n \pmod{m}, \forall n \in \mathbb{N}^0\end{cases}$

除法原理

$a \equiv b \pmod{cn} \Rightarrow a \equiv b \pmod n$
$\left. \begin{matrix} a \equiv b \pmod{m} \\ n|m \end{matrix} \right\} \Rightarrow a \equiv b \pmod n$ ^[1]
$\left. \begin{matrix} ac \equiv bc \pmod{m} \\ (c, m) = 1 \end{matrix} \right\} \Rightarrow a \equiv b \pmod m$ ^[2]

$\left. \begin{matrix} a \equiv b \pmod{m_1} \\ a \equiv b \pmod{m_2} \\ \vdots \\ a \equiv b \pmod{m_n} \\ (n \ge 2) \end{matrix} \right\} \Rightarrow a \equiv b \pmod{[m_1,m_2,\cdots,m_n]}$ ^[3]