算法导论中一个蒙提霍尔问题

《算法导论》第二版的附录C.2概率有这么一道习题：

一个监狱看守从三个罪犯中随机选择一个予以释放，其他两个将被处死。警卫知道哪个人是否会被释放，但是不允许给罪犯任何关于其状态的信息。让我们分别称罪犯为X，Y，Z。罪犯X私下问警卫Y或Z哪个会被处死，因为他已经知道他们中至少一个人会死，警卫不能透露任何关于他本人状态的信息。警卫告诉X，Y将被处死。X感到很高兴，因为他认为他或者Z将被释放，这意味着他被释放的概率是1/2。他正确吗？或者他的机会仍是1/3？请解释。

由于书出这道题的一节讲到了概率、条件概率和贝叶斯定理。所以我当时是这么解题的：

记事件A为：X被释放；事件B为：Y被处死。

在假定X被释放的情况下，Y被处死的条件概率是P(B|A)=1。

那么根据贝叶斯定理，在已知Y被处死的前提下，X被释放的条件概率就是

P(A|B) = P(A) * P(B|A) / P(B) = (1/3) * 1 / (2/3) = 1/2。　　　　　　　　　（1）式

直观的想，在知道了Y会死后，X与Z各有一半被释放的机会，答案似乎也应该是1/2的。但如果换一个角度考虑：Y或者Z一定有一个会死，不管警卫告诉X是哪一个，都不会改变X会不会被释放的结果，因而X被释放的概率都是一样的，都是1/3。

当时感觉这道题有点纠结了，觉得1/3好像是对的，但1/2又是我用公式算出来的。后来由于找不到答案，我也就不了了之（网上找到的《算法导论》答案没有附录这部分的，有知道的朋友给个链接^_^）。今天碰巧在网上看到了一个讲它的帖子，才知道这道题还挺有来头的。这个问题叫蒙提霍尔问题，又叫三门问题，据说是个"悖论"，还迷惑了很多人。不过原题改头换面了一下，换成了电视节目抽汽车中奖的背景。有兴趣的朋友可以看看。

按照网上的说法，问题的答案确实是1/3。我仔细想了想，觉得应该这么分析：

样本空间本身有三个基本事件：

E1：X被释放，Y死，　　Z死；

E2：X死，　　Y被释放，Z死；

E3：X死，　　Y死，　　Z被释放。

问题出在警卫身上，X问警卫的是哪一个会死，而无论是哪种基本事件，警卫总能告诉X一个会死的人。所以用概率算应该这么去算：

记事件A'为：X被释放；事件B'为：Y和Z中某人会死。求的是，在警卫告诉给X，YZ两者中某人会死的情况下，X会被释放的条件概率

P(A'|B')=P(A') * P(B'|A') / P(B') = 1/3 * 1 / 1 = 1/3.　　　　　　（2）式

很多人（包括我）之所以得出（1）式的答案，是因为没分析清问题。如果题目改成：X问警卫，Y是被释放还是被处死，而警卫回答他Y会被处死，那么答案就是（1）式的1/2 了。（注意体会与问出YZ两者中会死的一个的区别）。

网上改头换面的三门问题答案的关键也在主持人身上，如果他都知道三扇门门后是什么，总是别有用心的选择背后是羊的一扇门打开给抽奖者看，那么抽奖者就该选择换门；如果主持人只是随意的打开一扇门，而门背后正好是羊，那么抽奖者可以不换。

思考这个问题得到的体会：