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树状数组总结——详解(单点/区间查询,单点/区间修改,逆序对)

http:blog.csdn.netwzw1376124061articledetails731882382017-06-1317:2464人阅读评论(0)收藏举报版权声明:!!!
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2017-06-13 17:24
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1、概述

  树状数组(binary indexed tree),是一种设计新颖的数组结构,它能够高效地获取数组中连续n个数的和。概括说,树状数组通常用于解决以下问题:数组{a}中的元素可能不断地被修改,怎样才能快速地获取连续几个数的和?

2、树状数组基本操作

  传统数组(共n个元素)的元素修改和连续元素求和的复杂度分别为O(1)和O(n)。树状数组通过将线性结构转换成伪树状结构(线性结构只能逐个扫描元素,而树状结构可以实现跳跃式扫描),使得修改和求和复杂度均为O(lgn),大大提高了整体效率。

给定序列(数列)A,我们设一个数组C满足

C[i] = A[i–2^k+ 1] + … + A[i]

其中,k为i在二进制下末尾0的个数,i从1开始算!

则我们称C为树状数组。

下面的问题是,给定i,如何求2^k?

答案很简单:2^k=i&(i^(i-1)) ,也就是i&(-i)

下面进行解释:

以i=6为例(注意:a_x表示数字a是x进制表示形式):

(i)_10 = (0110)_2

(i-1)_10=(0101)_2

i xor (i-1) =(0011)_2

i and (i xor (i-1))  =(0010)_2

2^k = 2

C[6] = C[6-2+1]+…+A[6]=A[5]+A[6]

 数组C的具体含义如下图所示:

《树状数组总结——详解(单点/区间查询, 单点/区间修改, 逆序对)》

  当我们修改A[i]的值时,可以从C[i]往根节点一路上溯,调整这条路上的所有C[]即可,这个操作的复杂度在最坏情况下就是树的高度即O(logn)。另外,对于求数列的前n项和,只需找到n以前的所有最大子树,把其根节点的C加起来即可。不难发现,这些子树的数目是n在二进制时1的个数,或者说是把n展开成2的幂方和时的项数,因此,求和操作的复杂度也是O(logn)。

  树状数组能快速求任意区间的和:A[i] + A[i+1] + … + A[j],设sum(k) = A[1]+A[2]+…+A[k],则A[i] + A[i+1] + … + A[j] = sum(j)-sum(i-1)。


  • 单点修改  &&  区间查询

         已知一个数列,你需要进行下面两种操作:

                   1.将某一个数加上x

                   2.求出某区间每一个数的和

[cpp]
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  1. /************************************************************************* 
  2.      > Author: wzw-cnyali 
  3.      > Created Time: 2017/6/13 10:33:11 
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  10. #include  
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  16. using namespace std;  
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  18. typedef long long LL;  
  19.   
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  21.   
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  23. #define DREP(i, a, b) for(register int i = (a), i##_end_ = (b); i >= i##_end_; &#8212; i)  
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  77.     REP(i, 1, n) tree.add(i, read<int>());  
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  81.         if(tp == 1)  
  82.         {  
  83.             int x = read<int>(), val = read<int>();  
  84.             tree.add(x, val);  
  85.         }  
  86.         else  
  87.         {  
  88.             int x = read<int>(), y = read<int>();  
  89.             printf(&#8220;%d\n&#8221;, tree.query(y) &#8211; tree.query(x &#8211; 1));  
  90.         }  
  91.     }  
  92.     return 0;  
  93. }  

题目链接:
https://www.luogu.org/problem/show?pid=3374


  • 区间修改  &&  单点查询

                已知一个数列,你需要进行下面两种操作:

                        1.将某区间每一个数数加上x

                        2.求出某一个数的值

               思路:

        这里要引入差分数组这种东西,我们记d[i] = a[i] &#8211; a[i-1](a为原数组),这样我们记sigma(d[i]) = a[i] ,为什么呢,观察式子sigma(d[i]) = a[1] + a[2] &#8211; a[1] +a[3]...这样一直下去就得到了我们的原数组。
有什么用呢?如果我们往一段区间上加k,在差分数组上如何体现呢?我们举个例子:
                       a:1,2,3,4,5
                       d:1,1,1,1,1
                       2~4加1
        如果我们盲目的在2到4上加1,就会发现会影响后面的数(因为是前缀和),所以我们在2这个位置加一,用树状数组更新,在5的位置减一用树状数组更新就ok了
                       a:1,3,4,5,5
                       d:1,2,1,1,0

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  1. /************************************************************************* 
  2.      > Author: wzw-cnyali 
  3.      > Created Time: 2017/6/13 11:11:16 
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  7. #include  
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  18. typedef long long LL;  
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  20. typedef unsigned long long uLL;  
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  22. #define REP(i, a, b) for(register int i = (a), i##_end_ = (b); i <= i##_end_; ++ i)  
  23. #define DREP(i, a, b) for(register int i = (a), i##_end_ = (b); i >= i##_end_; &#8212; i)  
  24. #define EREP(i, a) for(register int i = (be[a]); i != -1; i = nxt[i])  
  25. #define debug(&#8230;) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)  
  26. #define mem(a, b) memset((a), b, sizeof(a))  
  27.   
  28. template<typename T> inline bool chkmin(T &a, const T &b) { return a > b ? a = b, 1 : 0; }  
  29. template<typename T> inline bool chkmax(T &a, const T &b) { return a < b ? a = b, 1 : 0; }  
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  31. char buff[1 << 25], *buf = buff;  
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  33. template <class T>  
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  38.     return fg ? -sum : sum;  
  39. }  
  40.   
  41. template <class T>  
  42. T read(T sum = 0, T fg = 0)  
  43. {  
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  45.     while(c < &#8216;0&#8217; || c > &#8216;9&#8217;) { fg |= c == &#8216;-&#8216;; c = getchar(); }  
  46.     while(c >= &#8216;0&#8217; && c <= &#8216;9&#8217;) { sum = sum * 10 + c &#8211; &#8216;0&#8217;; c = getchar(); }  
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  49.   
  50. const int inf = 1e9;  
  51.   
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  53.   
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  55.   
  56. const int maxn = 100000;  
  57.   
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  61. int a[Size];  
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  63. struct index_tree   
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  68.     void add(int x, int val)  
  69.     {  
  70.         for(; x <= n; x += lowbit(x)) tree[x] += val;  
  71.     }  
  72.   
  73.     int query(int x)  
  74.     {  
  75.         int ans = 0;  
  76.         for(; x; x -= lowbit(x)) ans += tree[x];  
  77.         return ans;  
  78.     }  
  79. }tree;  
  80.   
  81. int main()  
  82. {  
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  84.     freopen(&#8220;input.in&#8221;&#8220;r&#8221;, stdin);  
  85.     freopen(&#8220;output.out&#8221;&#8220;w&#8221;, stdout);  
  86. #endif  
  87.     fread(buff, 1, 1 << 25, stdin);  
  88.     n = Fread<int>(), m = Fread<int>();  
  89.     REP(i, 1, n)  
  90.     {  
  91.         a[i] = Fread<int>();  
  92.         tree.add(i, a[i] &#8211; a[i &#8211; 1]);  
  93.     }  
  94.     while(m&#8211;)  
  95.     {  
  96.         if(Fread<int>() == 1)  
  97.         {  
  98.             int x = Fread<int>(), y = Fread<int>(), val = Fread<int>();  
  99.             tree.add(x, val);  
  100.             tree.add(y + 1, -val);  
  101.         }  
  102.         else printf(&#8220;%d\n&#8221;, tree.query(Fread<int>()));  
  103.     }  
  104.     return 0;  
  105. }  

题目链接:https://www.luogu.org/problem/show?pid=3368

  • 区间修改  &&  区间查询

               已知一个数列,你需要进行下面两种操作:

                        1.将某区间每一个数加上x

                        2.求出某区间每一个数的和

  首先观察式子:

a[1]+a[2]+&#8230;+a[n]

= (c[1]) + (c[1]+c[2]) + &#8230; + (c[1]+c[2]+&#8230;+c[n]) 

= n*c[1] + (n-1)*c[2] +&#8230; +c[n]

= n * (c[1]+c[2]+&#8230;+c[n]) &#8211; (0*c[1]+1*c[2]+&#8230;+(n-1)*c[n])    (式子①)

那么我们就维护一个数组c2[n],其中c2[i] = (i-1)*c[i]

每当修改c的时候,就同步修改一下c2,这样复杂度就不会改变

那么式子①=n*sigma(c,n) &#8211; sigma(c2,n)

于是我们做到了在O(logN)的时间内完成一次区间和查询

一件很好的事情就是树状数组的常数比其他NlogN的数据结构小得多,实际上它的计算次数比NlogN要小很多,再加上它代码短,是OI中的利器

[cpp]
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  1. /************************************************************************* 
  2.      > Author: wzw-cnyali 
  3.      > Created Time: 2017/6/13 15:18:18 
  4.  ************************************************************************/  
  5.   
  6. #include  
  7. #include  
  8. #include  
  9. #include  
  10. #include  
  11. #include  
  12.   
  13. #prag\  
  14. ma GCC optimize(&#8220;O3&#8221;)  
  15.   
  16. using namespace std;  
  17.   
  18. typedef long long LL;  
  19.   
  20. typedef unsigned long long uLL;  
  21.   
  22. #define REP(i, a, b) for(register int i = (a), i##_end_ = (b); i <= i##_end_; ++ i)  
  23. #define DREP(i, a, b) for(register int i = (a), i##_end_ = (b); i >= i##_end_; &#8212; i)  
  24. #define EREP(i, a) for(register int i = (be[a]); i != -1; i = nxt[i])  
  25. #define debug(&#8230;) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)  
  26. #define mem(a, b) memset((a), b, sizeof(a))  
  27.   
  28. template<typename T> inline bool chkmin(T &a, const T &b) { return a > b ? a = b, 1 : 0; }  
  29. template<typename T> inline bool chkmax(T &a, const T &b) { return a < b ? a = b, 1 : 0; }  
  30.   
  31. char buff[1 << 21], *buf = buff;  
  32.   
  33. template <class T>  
  34. T Fread(T sum = 0, T fg = 0)  
  35. {  
  36.     while(*buf < &#8216;0&#8217; || *buf > &#8216;9&#8217;) { fg |= *buf == &#8216;-&#8216;; buf++; }  
  37.     while(*buf >= &#8216;0&#8217; && *buf <= &#8216;9&#8217;) { sum = sum * 10 + *buf &#8211; &#8216;0&#8217;; buf++; }  
  38.     return fg ? -sum : sum;  
  39. }  
  40.   
  41. template <class T>  
  42. T read(T sum = 0, T fg = 0)  
  43. {  
  44.     char c = getchar();  
  45.     while(c < &#8216;0&#8217; || c > &#8216;9&#8217;) { fg |= c == &#8216;-&#8216;; c = getchar(); }  
  46.     while(c >= &#8216;0&#8217; && c <= &#8216;9&#8217;) { sum = sum * 10 + c &#8211; &#8216;0&#8217;; c = getchar(); }  
  47.     return fg ? -sum : sum;  
  48. }  
  49.   
  50. const int inf = 1e9;  
  51.   
  52. const LL INF = 1e17;  
  53.   
  54. const int Size = 100010;  
  55.   
  56. const int maxn = 100000;  
  57.   
  58. const int maxm = 100000;  
  59.   
  60. int n, m;  
  61.   
  62. struct index_tree   
  63. {  
  64. #define lowbit(x) ((x) & (-x))  
  65.   
  66.     void add(LL *array, int x, LL val)  
  67.     {  
  68.         for(; x <= n; x += lowbit(x)) array[x] += val;  
  69.     }  
  70.   
  71.     LL query(LL *array, int x)  
  72.     {  
  73.         LL ans = 0;  
  74.         for(; x; x -= lowbit(x)) ans += array[x];  
  75.         return ans;  
  76.     }  
  77. }tree;  
  78.   
  79. LL c1[Size], c2[Size];  
  80.   
  81. int main()  
  82. {  
  83. #ifndef ONLINE_JUDGE  
  84.     freopen(&#8220;input.in&#8221;&#8220;r&#8221;, stdin);  
  85.     freopen(&#8220;output.out&#8221;&#8220;w&#8221;, stdout);  
  86. #endif  
  87.     fread(buff, 1, 1 << 21, stdin);  
  88.     n = Fread<int>(), m = Fread<int>();  
  89.     LL last_x = 0;  
  90.     REP(i, 1, n)  
  91.     {  
  92.         LL x = Fread();  
  93.         tree.add(c1, i, x &#8211; last_x);  
  94.         tree.add(c2, i, (x &#8211; last_x) * (i &#8211; 1));  
  95.         last_x = x;  
  96.     }  
  97.     while(m&#8211;)  
  98.     {  
  99.         if(Fread<int>() == 1)  
  100.         {  
  101.             int x = Fread<int>(), y = Fread<int>();  
  102.             LL val = Fread();  
  103.             tree.add(c1, x, val); tree.add(c1, y + 1, -val);  
  104.             tree.add(c2, x, val * (x &#8211; 1)); tree.add(c2, y + 1, -val * y);  
  105.         }  
  106.         else  
  107.         {  
  108.             int x = Fread<int>(), y = Fread<int>();  
  109.             LL sum1 = (x &#8211; 1) * tree.query(c1, x &#8211; 1) &#8211; tree.query(c2, x &#8211; 1);  
  110.             LL sum2 = y * tree.query(c1, y) &#8211; tree.query(c2, y);  
  111.             printf(&#8220;%lld\n&#8221;, sum2 &#8211; sum1);  
  112.         }  
  113.     }  
  114.     return 0;  
  115. }  

题目链接:https://www.luogu.org/problem/show?pid=3372

  • 逆序对

             对于一个包含n个非负整数的数组a,如果有ia[j],则称(a[i],A[j])为数组a中的一个逆序对。

           即逆序数就是前面比后面大的一对数。

[cpp]
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  1. /************************************************************************* 
  2.      > Author: wzw-cnyali 
  3.      > Created Time: 2017/6/13 16:59:03 
  4.  ************************************************************************/  
  5.   
  6. #include  
  7. #include  
  8. #include  
  9. #include  
  10. #include  
  11. #include  
  12.   
  13. #prag\  
  14. ma GCC optimize(&#8220;O3&#8221;)  
  15.   
  16. using namespace std;  
  17.   
  18. typedef long long LL;  
  19.   
  20. typedef unsigned long long uLL;  
  21.   
  22. #define REP(i, a, b) for(register int i = (a), i##_end_ = (b); i <= i##_end_; ++ i)  
  23. #define DREP(i, a, b) for(register int i = (a), i##_end_ = (b); i >= i##_end_; &#8212; i)  
  24. #define EREP(i, a) for(register int i = (be[a]); i != -1; i = nxt[i])  
  25. #define debug(&#8230;) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)  
  26. #define mem(a, b) memset((a), b, sizeof(a))  
  27.   
  28. template<typename T> inline bool chkmin(T &a, const T &b) { return a > b ? a = b, 1 : 0; }  
  29. template<typename T> inline bool chkmax(T &a, const T &b) { return a < b ? a = b, 1 : 0; }  
  30.   
  31. char buff[1 << 25], *buf = buff;  
  32.   
  33. template <class T>  
  34. T Fread(T sum = 0, T fg = 0)  
  35. {  
  36.     while(*buf < &#8216;0&#8217; || *buf > &#8216;9&#8217;) { fg |= *buf == &#8216;-&#8216;; buf++; }  
  37.     while(*buf >= &#8216;0&#8217; && *buf <= &#8216;9&#8217;) { sum = sum * 10 + *buf &#8211; &#8216;0&#8217;; buf++; }  
  38.     return fg ? -sum : sum;  
  39. }  
  40.   
  41. template <class T>  
  42. T read(T sum = 0, T fg = 0)  
  43. {  
  44.     char c = getchar();  
  45.     while(c < &#8216;0&#8217; || c > &#8216;9&#8217;) { fg |= c == &#8216;-&#8216;; c = getchar(); }  
  46.     while(c >= &#8216;0&#8217; && c <= &#8216;9&#8217;) { sum = sum * 10 + c &#8211; &#8216;0&#8217;; c = getchar(); }  
  47.     return fg ? -sum : sum;  
  48. }  
  49.   
  50. const int inf = 1e9;  
  51.   
  52. const LL INF = 1e17;  
  53.   
  54. const int Size = 100000;  
  55.   
  56. const int maxn = 100000;  
  57.   
  58. const int maxm = 100000;  
  59.   
  60. int n;  
  61.   
  62. struct node  
  63. {  
  64.     int val, id;  
  65. }a[Size];  
  66.   
  67. bool cmp(node a, node b)  
  68. {  
  69.     return a.val < b.val;  
  70. }  
  71.   
  72. struct index_tree  
  73. {  
  74. #define lowbit(x) ((x) & (-x))  
  75.     int tree[Size];  
  76.     void add(int x)  
  77.     {  
  78.         for(; x <= n; x += lowbit(x)) tree[x]++;  
  79.     }  
  80.   
  81.     int query(int x)  
  82.     {  
  83.         int ans = 0;  
  84.         for(; x; x -= lowbit(x)) ans += tree[x];  
  85.         return ans;  
  86.     }  
  87. }tree;  
  88.   
  89. int c[Size];  
  90.   
  91. int main()  
  92. {  
  93. #ifndef ONLINE_JUDGE  
  94.     freopen(&#8220;input.in&#8221;&#8220;r&#8221;, stdin);  
  95.     freopen(&#8220;output.out&#8221;&#8220;w&#8221;, stdout);  
  96. #endif  
  97.     fread(buff, 1, 1 << 25, stdin);  
  98.     n = Fread<int>();  
  99.     REP(i, 1, n) a[i] = (node){Fread<int>(), i};  
  100.     sort(a + 1, a + n + 1, cmp);  
  101.   
  102.     REP(i, 1, n) c[a[i].id] = i;  
  103.   
  104.     int ans = 0;  
  105.     DREP(i, n, 1)  
  106.     {  
  107.         ans += tree.query(c[i]);  
  108.         tree.add(c[i]);  
  109.     }  
  110.     printf(&#8220;%d\n&#8221;, ans);  
  111.     return 0;  

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林立霞61556
这个家伙很懒,什么也没留下!
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