若随机变量 \(X\) 的分布用分布列 \(p(x_i)\) 或用密度函数 \(p(x)\) 表示,则 \(X\) 的某一函数 \(g(X)\) 的数学期望为

\[\tag{1}E[g(X)]=\begin{cases}

\displaystyle \sum\limits_{i} g\left(x_{i}\right) p\left(x_{i}\right), & \text {在离散场合} \\

\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} g(x) p(x) \mathrm{d} x, & \text {在连续场合 }

\end{cases}

\]

数学期望的性质

若 \(c\) 是常数,则 \(E(c)=c\) .

证明：

如果将常数 \(c\) 看作仅取一个值的随机变量 \(X\),则有 \(P(X=c)=1\) , 从而其数学期望 \(E(c)= E(X)= c\times 1 =c\).

对任意常数 \(a\) , 有 \(E(aX)=aE(X)\) .

证明：

在 \((1)\) 中令 \(g(x)=ax\) , 然后把 \(a\) 从求和号或积分号中提出来即得.

对任意的两个函数 \(g_1(x)\) 和 \(g_2(x)\) 有

\[E\left[g_{1}(X) \pm g_{2}(X)\right]=E\left[g_{1}(X)\right] \pm E\left[g_{2}(X)\right]

\]

证明：

在 \((1)\) 中令 \(g(x)=g_1(x)\pm g_2(x)\) , 然后把和式分解成两个和式 , 或把积分分解成两个积分即得.

方差的性质

\[\operatorname{Var}(X)=E\left(X^{2}\right)-[E(X)]^{2}

\]

证明：

\[\begin{align*}

\operatorname{Var}(X)&=E(X-E(X))^{2}=E\left(X^{2}-2 X \cdot E(X)+(E(X))^{2}\right)\\

&=E\left(X^{2}\right)-2 E(X) \cdot E(X)+(E(X))^{2}=E\left(X^{2}\right)-[E(X)]^{2}

\end{align*}

\]

\(c\) 为常数, 则 \(\operatorname{Var}(c)=0\) .

证明：

\[\operatorname{Var}(c)=E(c-E(c))^{2}=E(c-c)^{2}=0

\]

若 \(a,b\) 为常数 , 则 \({\rm Var}(aX+b)=a^2{\rm Var}(X)\) .

证明：

\[\begin{align*}

{\rm Var}(aX+b)&=E(aX+b-E(aX+b))^2\\

&=E(a(X-E(X)))^2\\

&=a^2{\rm Var}(X)

\end{align*}

\]