深入理解数学基础知识，助力学习者提升数学能力

1.1 函数的概念与特性

• 函数
• 反函数&＃xff1a;函数与反函数的图像、对称
• 复合函数

函数的四种特性

• 有界性&＃xff1a;“完全包围”&＃xff0c;指明区间&＃xff0c;无界
• 单调性&＃xff1a;定义法、求导法
• 奇偶性&＃xff1a;特殊的奇偶函数&＃xff0c;特点&＃xff0c;悬链线
• 周期性

【 重要结论 】

• 七条重要结论&＃xff08;p4&＃xff09;

1.2 函数的图像

直角坐标系下的图像

• 常见图像
  • 基本初等函数&＃xff1a;常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数
    • 常数函数&＃xff1a;作用
    • 幂函数&＃xff1a;图像&＃xff0c;定义域、值域&＃xff0c;常用幂函数&＃xff0c;单调性
    • 指数函数&＃xff1a;图像&＃xff0c;定义域、值域&＃xff0c;单调性&＃xff0c;常用指数函数&＃xff0c;极限&＃xff0c;特殊函数值
    • 对数函数&＃xff1a;图像&＃xff0c;定义域、值域&＃xff0c;单调性&＃xff0c;常用对数函数&＃xff0c;极限&＃xff0c;特殊函数值&＃xff0c;常用公式&＃xff08;幂指函数&＃xff09;
    • 三角函数&＃xff1a;图像&＃xff0c;定义域、值域&＃xff0c;奇偶性&＃xff0c;周期性&＃xff0c;有界性&＃xff0c;特殊函数值
      • 正弦函数&余弦函数
      • 正切函数&余切函数
    • 反三角函数&＃xff1a;图像&＃xff0c;定义域、值域&＃xff0c;单调性&＃xff0c;奇偶性&＃xff0c;有界性&＃xff0c;性质
      • 反正弦函数&反余弦函数
      • 反正切函数&反余切函数
  • 初等函数&＃xff1a;幂指函数
  • 分段函数&＃xff1a;绝对值函数&＃xff0c;符号函数&＃xff0c;取整函数、两个注意点
• 图像变换
  • 平移变换&＃xff1a;左右、上下
  • 对称变换&＃xff1a;x轴、y轴、原点、y&＃61;x、绝对值
  • 伸缩变换&＃xff1a;水平伸缩、垂直伸缩

极坐标系下的图像

• 描点法画常见图像
  • 心形线
  • 玫瑰线
  • 阿基米德螺线
  • 伯努利双纽线
• 直角坐标系观点画极坐标系下图像&＃xff1a;画直角系下r,θ图像&＃xff0c;对应到极坐标系下

参数方程

• 摆线&＃xff1a;外摆、平摆、内摆
• 星形线

1.3 常用基础知识

• 数列
  • 等差数列
  • 等比数列
  • 常见数列前n项和
• 【 三角函数 】
  • 三角函数基本关系
  • 诱导公式
  • 特殊的三角函数值
  • 重要公式&＃xff1a;倍角公式、半角公式、和差公式、积化和差公式/和差化积公式、万能公式
• 指数运算法则
• 对数运算法则
• 一元二次方程基础
• 因式分解公式
• 阶乘与双阶乘
• 【 常用不等式 】

【 情报#1 】

• 神秘的数字0/1
• 相同单调性替换放缩&＃xff0c;简化计算

2.1 引言

2.2 求数列极限

• 证明1/2&＃xff1a;定义 / 性质
  • 【 三部曲 / ε语言 】
  • 数列极限定义&＃xff1a;四要素
  • 收敛数列性质&＃xff1a;唯一性、有界性、保号性、推论
• 运算规则
• 证明3&＃xff1a;【 夹逼准则 】
• 证明4&＃xff1a;【 单调有界准则 】

【 情报#2 】

• 脱帽 / 带帽 公式
• 重点研究不等关系
• 十大不等式
• 无界变量但不是无穷大量
• 数列收敛&＃xff0c;数列子列亦收敛&＃xff0c;且极限值相同
• {An}发散 <&＃61; 至少一个子列收敛&＃xff0c;或两个子列收敛 但收敛值不同
• 普遍规律&＃xff1a;存在即唯一
• 思路&＃xff1a;
  • 证明An → 0&＃xff0c;转化为| An | → 0
  • 单调递推式 &＃61;> 单调有界准则
• 证明1&＃xff1a;①先写距离&＃xff0c;另起&＃xff1c;ε ②反解除n的范围&＃xff1a;n&＃xff1e;g(ε) ③取N&＃61;[ g(ε) ] &＃43; 1