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Manacher算法详解:寻找最长回文子串

本文将详细介绍Manacher算法,该算法用于高效地找到字符串中的最长回文子串。通过在字符间插入特殊符号,Manacher算法能够同时处理奇数和偶数长度的回文子串问题。

Manacher算法是一种高效的算法,用于在字符串中寻找最长的回文子串。该算法的核心思想是在每个字符之间插入一个特殊符号,从而将奇数和偶数长度的回文子串统一处理。

### 基本概念

回文子串:一个字符串从前往后读和从后往前读是一样的。例如,"abcba"是一个回文子串。

回文半径数组:对于每个位置i,记录以i为中心的最长回文子串的半径长度。

最右回文右边界R:所有回文半径中,最靠右的位置。

回文右边界的中心C:当前回文右边界到达最右边时,是以哪个位置为中心进行扩充的。

### 算法步骤

1. **预处理**:在原字符串的每个字符之间插入一个特殊符号(如"#"),并在字符串的开头和结尾各加一个不同的特殊符号(如"^"和"$"),以避免越界问题。

2. **初始化**:定义两个变量CR,分别表示当前回文右边界到达最右边时的中心位置和最右边界。

3. **遍历字符串**:对于每个位置i,计算其回文半径。

- **情况1**:如果i不在回文右边界R内,则采用暴力方法从i开始向两边扩展,直到不再形成回文子串。

- **情况2**:如果i在回文右边界R内,且i关于回文右边界中心C的对称位置i'的回文半径全部在LR内部,则i位置的回文半径与i'相同。

- **情况3**:如果i在回文右边界R内,但i关于回文右边界中心C的对称位置i'的回文半径部分超出了R,则i位置的回文半径为R-i

- **情况4**:如果i在回文右边界R内,且i关于回文右边界中心C的对称位置i'的回文半径部分超出了R,则从R+1开始继续扩展,直到不再形成回文子串。

4. **更新最右回文右边界R**:如果当前回文子串的右边界超过了R,则更新CR

### 示例

假设输入字符串为"abba",经过预处理后变为"^#a#b#b#a#$"。按照上述步骤计算每个位置的回文半径,最终得到最长回文子串为"abba"。

### 总结

Manacher算法通过在字符间插入特殊符号,将奇数和偶数长度的回文子串统一处理,大大提高了查找效率。该算法的时间复杂度为O(n),适用于各种长度的字符串。


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手机用户2502892083
这个家伙很懒,什么也没留下!
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