使用mathematica求解最优化模型

1、彩电生产问题的最优化分析

一家彩电制造商计划推出两种新产品：一种19英寸液晶平板电视机，制造商建议零售价为339美元；另一种21英寸液晶平板电视机，零售价为399美元。公司付出的成本为19英寸彩电每台195美元，21英寸彩电每台225美元；还要加上400000美元的固定成本。在竞争的销售市场中，每年售出的彩电数量会影响彩电的平均售价。据估计，对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降1美分。而且19英寸彩电的销售会影响21英寸彩电的销售，反之亦然。据估计，每售出一台21英寸彩电，19英寸彩电的平均售价会下降0.3美分，而每售出一台19英寸彩电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。

（1）每种彩电应该各生产多少台，每种彩电的平均售价是多少？

（2）最大的盈利利润是多少，利润率是多少？

2、彩电生产的关税问题分析

仍然是上述的无约束的彩电问题。由于公司的装配厂在海外，所以美国政府要对每台电视机征收25美元的关税。

（1）将关税考虑进去，求最优生产量。这笔关税会使公司有多少花费？在这笔花费中，有多少是直接付给政府，又有多少是销售额的损失？

（2）为了避免关税，公司是否应该将生产企业重新定址在美国本土上？假设海外的工厂可以按每年200000美元的价格出租给另一家制造公司，在美国国内建设一个新工厂并使其运转起来每年需要花费550000美元。这里建筑费用按新厂的预期使用年限分期偿还。

（3）征收关税的目的是为了促使制造公司美国国内建厂。能够使公司愿意在国内重新建厂的最低关税额是多少？

（4）将关税定得足够高，使公司要重建工厂。讨论生产量和利润关于关税的灵敏性。说明实际关税额的重要性。

一、彩电生产问题的最优化分析

根据五步法求解过程如下：

第一步：提出问题

变量：

       s=19英寸彩电的售出数量（每年）

       t=21英寸彩电的售出数量（每年）

       p=19英寸彩电的销售价格（美元）

       q=19英寸彩电的销售价格（美元）

       C=生产彩电的成本（美元/年）

       R=彩电销售的收入（美元/年）

       P=彩电销售的利润（美元/年）

假设：

       p=339-0.01s-0.003t

       q=399-0.004s-0.01t

       R=ps+qt

       C=400 000+195s+225t

       P=R-C

       s≥0

       t≥0

目标：求P的最大值

第二步：选择建模方法

这个彩电问题是无约束的多变量最优化问题，这类问题通常用多元积分解决。

第三步：推导数学表达式

P=R-C

             = ps+qt-(400 000+195s+255t)

             = (339-0.01s-0.003t) s+(399-0.004s-0.01t) t-(400 000+195s+255t)

现在令y=P作为最大值的目标变量，x₁ = s , x₂ = t 作为决策变量，则该问题可以化为针对y=f（x₁,x₂）求最大值，得：

　　　　　　 y= f( x₁，x₂)

　　　　　　  = (339-0.01 x₁-0.003 x₂) x+(399-0.004 x₁-0.01 x₂) x₂-(400 000+195 x₁+255 x₂)

第四步：求解模型

（1）运用mathematica画出该函数的图形

绘制三维模型如下：

图1 &＃8211; 绘制三维图形

绘制等高线如下：

图2 &＃8211; 绘制等高线

（2）由于如果用手工方法通过第二步选择的微积分求解过于复杂，所以我们可以通过mathematica来求解，求解过程如下图1所示：

图3 &＃8211; mathematica求解过程

第五步：回答问题

这家公司可以通过生产4753台19英寸彩电和7043台21英寸彩电获得最大利润，每年获得的净利润553641美元。每台19英寸彩电的平均售价为270.52美元，每台21 英寸彩电的平均售价为309.63美元。生产总支出为2908000美元，相应的利润率为19%。

二、彩电生产的关税问题分析

1、第二题第一问

第一步：提出问题

变量：

       s=19英寸彩电的售出数量（每年）

       t=21英寸彩电的售出数量（每年）

       p=19英寸彩电的销售价格（美元）

       q=19英寸彩电的销售价格（美元）

k=关税总花费（美元）

       C=生产彩电的成本（美元/年）

       R=彩电销售的收入（美元/年）

       P=彩电销售的利润（美元/年）

假设：

       p=339-0.01s-0,003t

       q=399-0.004s-0.01t

       R=ps+qt

k=25(s+t)

       C=400 000+195s+225t

       P=R-C-k

       s≥0

       t≥0

目标：求P的最大值

第二步：选择建模方法

虽然本次加入关税，但整体仍是无约束的多变量最优化问题。所以求解思路同上题目。

第三步：推导数学表达式

根据上题已有公式，加入关税花费k，得到公式如下：

P=R-C-k

             = ps+qt-(400 000+195s+255t)-25(s+t)

             = (339-0.01s-0.003t) s+(399-0.004s-0.01t) t-

(400 000+195s+255t)-25(s+t)

现在令y=P作为最大值的目标变量，x₁ = s , x₂ = t 作为决策变量，则该问题可以化为针对y=f（x₁,x₂）求最大值，得：

　　　　　　 y= f( x₁，x₂)

　　　　　　  = (339-0.01 x₁-0.003 x₂) x+(399-0.004 x₁-0.01 x₂) x₂-(400 000+195 x₁+255 x₂)-25(x1+x2)

第四步：求解模型

（1）通过mathematica求解，得到两种不同英寸最佳分配量，以及关税总额如下图所示：

图4 &＃8211; mathematica求解过程

（2）计算关税分配

第五步：回答问题

当考虑了关税后，应生产19英寸彩电3809台，21英寸彩电6117台，可获得最大利润282345美元，其中共产生了关税248148美元。

2、第二题第二问

撤回国内后，生产成本增加量为：

　　　　　550 000-200 000=350 000

若在海外办厂，则仍需要交关税，根据题1所得利润减去题2（1）问所求利润得：

　　　　　553641–283245=271296

　　　　　271296<350000,所以不应该搬回国内

3、第二题第三问

利用五步法分析结果如下：

第一步：提出问题

变量：

       s=19英寸彩电的售出数量（每年）

       t=21英寸彩电的售出数量（每年）

       p=19英寸彩电的销售价格（美元）

       q=19英寸彩电的销售价格（美元）

       e=关税额（美元/台）

       v=回国的成本增加额（美元）

       k=关税总花费（美元）

       C=生产彩电的成本（美元/年）

       R=彩电销售的收入（美元/年）

       P=彩电销售的利润（美元/年）

假设：

       p=339-0.01s-0,003t

       q=399-0.004s-0.001t

       R=ps+qt

       k=e(s+t)

       C=400 000+195s+225t

       P=R-C-k

       s≥0,t≥0,e≥0

目标：求使得P无关税-P有关税max≥v的e的值

第二步：选择建模方法

本次题目关税额不定，应求使得厂商能在国内建厂且利润比国外大的关税额的点（当且仅当收关税使得利润减少额大于等于搬回国内成本）。

第三步：推导数学公式

根据上题以求得公式得到新题设为

　　　　　553641-P有关税max≥350000

　　　　　∴P有关税max≤203641

　　　　　∵P有关税max=(339-0.01s-0.003t)s+(399-0.004s-0.01t)t-

(400000+195s+255t)-e(s+t)

　　　　　∴ｅ≥[(339-0.01s-0.003t)s+(399-0.004s-0.01t)t-

　　　　　　　　　　(400000+195s+255t+203641)]/(s+t)

现在令y=e作为最大值的目标变量，x₁ = s , x₂ = t 作为决策变量，则该问题可以化为针对y=f（x₁,x₂）求最大值，得：

y≥[-603641-195x+(339-0.01&＃215;1-0.003&＃215;2)x1-225&＃215;2+(399-0.004&＃215;1-0.01&＃215;2)x2]/(x1+x2)

第四步：求解模型

首先，利用mathematica绘制图行预估最高点：

(1)利用Plot命令绘制三维图形如下图所示：

图5 &＃8211; 三维图形绘制

（2）利用ContourPlot命令绘制等高线如下图所示

图6 &＃8211; 等高线绘制

通过上述图形可以得到最高点大约在x1=4000，x2=6000左右。

利用mathematica求解过程如下：

图7 &＃8211; FindRoot求解

第五步：回答问题

根据计算结果可以得出结论，当所收关税高于33.1787时，公司才会愿意搬回国内。

4、第二题第四问

该问的前提是关税足够高，使得公司将在美国境内建厂，利润公式如下：

　　　　　  y=(339-0.01&＃215;1-0.003&＃215;2)x1+(399-0.004&＃215;1-0.01&＃215;2)x2-

(400000+195&＃215;1+255&＃215;2)-e(x1+x2)

其中：

y: 利润

x1: 19英寸生产量

x2: 21英寸菜彩电生产量

通过mathematica求偏导并令他们为零可以得到如下图所示：

图8 &＃8211; 求偏导

同样使用工具求解得出x1.x2分别等于如下图所示：

通过mathematica分别绘制x1和x2的函数图形如下：

图9 &＃8211; x1关于关税的曲线图

图10 &＃8211; x2关于关税的曲线图

下面讨论y对e的灵敏度分析，将上面所求的的x1和x2带入y=f（x1,x2）中，可以得到式子如下

图11 &＃8211; 带入求值

画出y关于a的表达式如下如下图所示

图12 &＃8211; y关于关税的曲线图

通过上述分析可以得出，关税对于销量和利润都有非常大的影响。