生成并绘制经验联合概率密度函数（PDF）和累积分布函数（CDF）

当给定两个变量(X,Y)时，如何利用基础MATLAB（即不使用任何额外工具箱）来生成并绘制它们的经验联合概率密度函数（PDF）和累积分布函数（CDF）呢？

这个问题的核心在于理解如何从数据中提取信息，并通过适当的方法将其可视化。下面将介绍两种方法，一种适用于MATLAB R2015a及更早版本，另一种则针对R2015b及其后续版本，后者利用了更新的内置函数来简化过程。

解决方案 1: MATLAB R2015a 及更早版本

首先，需要定义数据集：

• 随机变量X, Y：作为样本向量定义，例如 X 和 Y。


• x轴和y轴的区间边界：分别由向量 x_axis 和 y_axis 定义。这些边界值必须是递增的，但不必等间距。

接下来，计算每个2D区间的角点和中心点，用于确定PDF和CDF的定义位置。然后，使用 bsxfun 函数来计算每个区间的频率，进而得到PDF。最后，通过累加这些频率来获得CDF。为了更好地可视化这些结果，可以使用 surf(...) 函数进行3D绘图，或者使用 imagesc(...) 进行二维图像显示。

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%// 示例数据:
X = randn(1,1e5); %// 随机变量.
Y = randn(1,1e5);

x_axis = -3:.2:3; %// 定义x轴的区间边界. 列向量
y_axis = -3:.2:3; %// y轴相同

%// 计算2D区间的角点:
[x_mesh_upper,y_mesh_upper] = meshgrid(x_axis(2:end),y_axis(2:end));
[x_mesh_lower,y_mesh_lower] = meshgrid(x_axis(1:end-1),y_axis(1:end-1));

%// 计算1D区间的中心点:
x_centers = (x_axis(2:end)+x_axis(1:end-1))/2;
y_centers = (y_axis(2:end)+y_axis(1:end-1))/2;

%// 计算PDF:
pdf = mean(bsxfun(@le, X(:), x_mesh_upper(:).') ...
    & bsxfun(@gt, X(:), x_mesh_lower(:).') ...
    & bsxfun(@le, Y(:), y_mesh_upper(:).') ...
    & bsxfun(@gt, Y(:), y_mesh_lower(:).'));
pdf = reshape(pdf,length(x_axis)-1,length(y_axis)-1); %// 在由x_centers, y_centers定义的网格点处的PDF值
pdf = pdf ./ (y_mesh_upper-y_mesh_lower) ./ (x_mesh_upper-x_mesh_lower); %// 归一化PDF使其积分等于1

%// 计算CDF:
cdf = mean(bsxfun(@le, X(:), x_mesh_upper(:).') ...
    & bsxfun(@le, Y(:), y_mesh_upper(:).'));
cdf = reshape(cdf,length(x_axis)-1,length(y_axis)-1);

%// 绘制PDF
figure
imagesc(x_centers,y_centers,pdf)
axis xy
axis equal
colorbar
title('PDF')

%// 绘制CDF
figure
imagesc(x_centers,y_centers,cdf)
axis xy
axis equal
colorbar
title('CDF')

解决方案 2: MATLAB R2015b 及更高版本

从MATLAB R2015b开始，引入了一个新的 histogram2 函数，极大地简化了上述过程。这个函数不仅能够自动生成直方图，还能根据输入参数自动计算PDF或CDF。使用此函数，代码变得更为简洁，同时保持了高度的灵活性和准确性。

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%// 示例数据:
X = randn(1,1e5); %// 随机变量.
Y = randn(1,1e5);

x_axis = -3:.2:3; %// 定义x轴的区间边界. 列向量
y_axis = -3:.2:3; %// y轴相同

%// 计算并绘制PDF
figure
histogram2(X, Y, x_axis, y_axis, 'Normalization', 'pdf')

%// 计算并绘制CDF
figure
histogram2(X, Y, x_axis, y_axis, 'Normalization', 'cdf')