探索三维几何：计算空间两线段的公共垂直线与分数类算法优化

作者：叶子美容美体养生馆os | 来源：互联网 | 2024-10-23 17:53

分析：首先判断线段俩直线是否平行（或重合），如果是的话直接求。考虑4个端点到另外一条线段的距离，取最小值即可

分析&＃xff1a;

首先判断线段俩直线是否平行&＃xff08;或重合&＃xff09;&＃xff0c;如果是的话直接求。考虑4个端点到另外一条线段的距离&＃xff0c;取最小值即可。

如果不平行或重合&＃xff0c;说明俩条直线是异面直线&＃xff0c;这时最短距离既可能是某端点到另外一条线段的距离&＃xff0c;也可能是异面直线的最短距离。

如何求异面直线的最短距离&＃xff1f;假设俩条直线分别为l1&＃61;(p1,v1&＃xff09;和l2&＃61;(p2,v2),那么最短距离会在某个q1&＃61;p1&＃43;sv1和q2&＃61;p2&＃43;tv2上取到&＃xff0c;其中q1和q2分别在l1和l2上&＃xff0c;且q1q2是这俩条异面直线的公垂线。

向量q1q1&＃61;q2-q1&＃61;p2-p1&＃43;tv2-sv1垂直于V1,因此Dot(p2-p1&＃43;tv2-sv1&＃xff0c;v1)&＃61;0,根据分配率&＃xff0c;有Dot(p2-p1,v1)&＃43;t*Dot(v2,v1)-s*Dot(v1,v1)&＃61;0.注意这里的三个点积都是可以直接算出来的&＃xff0c;因此实际上得到的是一个关于t和s的一次方程。根据q1q2垂直于v2还可以得到一个一次方程&＃xff0c;联立求解即可。下面的代码直接使用了经过复杂化简以后的结果。

注意本题比较特殊&＃xff0c;要求以分数方式输出。所以可以考虑定义一个Rat类&＃xff08;代表Rational&＃xff09;来保存和计算有理数&＃xff0c;并且重载加法、减法、和乘法,然后把本题用到的俩个关键函数&＃xff1a;点到线段距离Distace2Tosegment和异面直线的最小距离LineDistace3D改写成返回有理数的版本。

代码&＃xff1a;

#include #include #include #include #include #include #include #include #include #include #include #include #define LL long long using namespace std; const double eps&＃61;1e-6; int dcmp(double x) {return fabs(x)0?1:-1); } struct Point3 {LL x,y,z;Point3(LL x,LL y,LL z):x(x),y(y),z(z){}Point3() {}void in(){cin>>x>>y>>z;} }; typedef Point3 Vector3; Vector3 operator &＃43;(Vector3 A,Vector3 B) {return Vector3(A.x&＃43;B.x,A.y&＃43;B.y,A.z&＃43;B.z); } Vector3 operator -(Vector3 A,Vector3 B) {return Vector3(A.x-B.x,A.y-B.y,A.z-B.z); } Vector3 operator * (Vector3 A,int p) {return Vector3(A.x*p,A.y*p,A.z*p); } Vector3 operator / (Vector3 A,int p) {return Vector3(A.x/p,A.y/p,A.z/p); } bool operator &＃61;&＃61; (Vector3 A,Vector3 B) {return A.x&＃61;&＃61;B.x&&A.y&＃61;&＃61;B.y&&A.z&＃61;&＃61;B.z; } int Dot(Vector3 A,Vector3 B) {return A.x*B.x&＃43;A.y*B.y&＃43;A.z*B.z; } double Length(Vector3 A) {return sqrt(Dot(A,A)); } int Length2(Vector3 A) {return Dot(A,A); } Vector3 Cross(Vector3 A,Vector3 B) {return Vector3(A.y*B.z-A.z*B.y,A.z*B.x-A.x*B.z,A.x*B.y-A.y*B.x); } LL gcd(LL a,LL b){return b?gcd(b,a%b):a;} LL lcm(LL a,LL b){return a/gcd(a,b)*b;} struct Rat {LL a,b;Rat(LL a&＃61;0):a(a),b(1) {}Rat(LL x,LL y):a(x),b(y){if(b<0) a&＃61;-a,b&＃61;-b;LL d&＃61;gcd(a,b);if(d<0) d&＃61;-d;a/&＃61;d;b/&＃61;d;} }; Rat operator &＃43; (const Rat &A,const Rat &B) {LL x&＃61;lcm(A.b,B.b);return Rat(A.a*(x/A.b)&＃43;B.a*(x/B.b),x); } Rat operator - (const Rat &A,const Rat &B) {return A&＃43;Rat(-B.a,B.b); } Rat operator *(const Rat &A,const Rat &B) {return Rat(A.a*B.a,A.b*B.b); }void updatemin(Rat &A,const Rat &B) {if(A.a*B.b>B.a*A.b) A.a&＃61;B.a,A.b&＃61;B.b; } Rat Rat_Distace2ToSegment(const Point3 &P,const Point3 &A,const Point3 &B) {if(A&＃61;&＃61;B) return Length2(P-A);Vector3 v1&＃61;B-A,v2&＃61;P-A,v3&＃61;P-B;if(Dot(v1,v2)<0) return Length2(v2);else if(Dot(v1,v3)>0) return Length2(v3);else return Rat(Length2(Cross(v1,v2)),Length2(v1)); } bool Rat_LineDistace3D(const Point3 &p1,const Point3 &u,const Point3 &p2,const Vector3 &v, Rat &s) {LL b &＃61;(LL)Dot(u,u)*Dot(v,v)-(LL)Dot(u,v)*Dot(u,v);if(b&＃61;&＃61;0) return false;LL a&＃61;(LL)Dot(u,v)*Dot(v,p1-p2)-(LL)Dot(v,v)*Dot(u,p1-p2);s&＃61;Rat(a,b);return true; } void Rat_GetPointOnLine(const Point3 &A,const Point3 &B,const Rat &t,Rat &x,Rat &y,Rat &z) {x&＃61;Rat(A.x)&＃43;Rat(B.x-A.x)*t;y&＃61;Rat(A.y)&＃43;Rat(B.y-A.y)*t;z&＃61;Rat(A.z)&＃43;Rat(B.z-A.z)*t; } Rat Rat_Distance2(const Rat &x1,const Rat &y1,const Rat &z1,const Rat &x2,const Rat &y2,const Rat &z2) {return (x1-x2)*(x1-x2)&＃43;(y1-y2)*(y1-y2)&＃43;(z1-z2)*(z1-z2); } int main() {int T;cin>>T;while(T--){Point3 A,B,C,D;A.in();B.in();C.in();D.in();Rat s,t;bool ok&＃61;false;Rat ans&＃61;Rat(1000000000);if(Rat_LineDistace3D(A,B-A,C,D-C,s))if(s.a>0&&s.a0&&t.a}

推荐阅读

int
Weight the Tree（树形dp）

题目Link题目学习link1题目学习link2题目学习link3%%%受益匪浅！－－－－－&# ... [详细]

蜡笔小新 2024-12-26 15:55:56
text
扫描线三巨头 hdu1928hdu 1255 hdu 1542 [POJ 1151]

学习链接：http:blog.csdn.netlwt36articledetails48908031学习扫描线主要学习的是一种扫描的思想，后期可以求解很 ... [详细]

蜡笔小新 2024-12-26 20:04:36
int
Codeforces Round #566 (Div. 2) A~F个人题解

Dashboard-CodeforcesRound#566(Div.2)-CodeforcesA.FillingShapes题意：给你一个的表格，你 ... [详细]

蜡笔小新 2024-12-25 18:41:21
int
CUGB图论专题：排水系统中的最大流问题 - EK与Dinic算法解析

本题探讨如何通过最大流算法解决农场排水系统的设计问题。题目要求计算从水源点到汇合点的最大水流速率，使用经典的EK（Edmonds-Karp）和Dinic算法进行求解。 ... [详细]

蜡笔小新 2024-12-25 17:47:23
int
古代密码变换问题

本题探讨了一种字符串变换方法，旨在判断两个给定的字符串是否可以通过特定的字母替换和位置交换操作相互转换。核心在于找到这些变换中的不变量，从而确定转换的可能性。 ... [详细]

蜡笔小新 2024-12-28 09:18:22
text
使用Objective-C和dispatch库实现并发素数计算

本文介绍如何使用Objective-C结合dispatch库进行并发编程，以提高素数计数任务的效率。通过对比纯C代码与引入并发机制后的代码，展示dispatch库的强大功能。 ... [详细]

蜡笔小新 2024-12-28 08:44:35
int
USACO 2014 Jan - Moolympics区间记录优化算法

题目描述：给定n个半开区间[a, b)，要求使用两个互不重叠的记录器，求最多可以记录多少个区间。解决方案采用贪心算法，通过排序和遍历实现最优解。 ... [详细]

蜡笔小新 2024-12-27 18:14:31
int
UNP 第9章：主机名与地址转换

本章探讨了用于在主机名和数值地址之间进行转换的函数，如gethostbyname和gethostbyaddr。此外，还介绍了getservbyname和getservbyport函数，用于在服务器名和端口号之间进行转换。 ... [详细]

蜡笔小新 2024-12-27 11:26:39
int
C++ 中的数组与动态数组初始化

本文探讨了 C++ 中普通数组和标准库类型 vector 的初始化方法。普通数组具有固定长度，而 vector 是一种可扩展的容器，允许动态调整大小。文章详细介绍了不同初始化方式及其应用场景，并提供了代码示例以加深理解。 ... [详细]

蜡笔小新 2024-12-26 15:38:03
int
洛谷 P4116 树上操作：颜色变换与路径查询

本题涉及一棵由N个节点组成的树（共有N-1条边），初始时所有节点均为白色。题目要求处理两种操作：一是改变某个节点的颜色（从白变黑或从黑变白）；二是查询从根节点到指定节点路径上的第一个黑色节点，若无则输出-1。 ... [详细]

蜡笔小新 2024-12-26 10:22:20
int
深入理解线程局部存储

在多线程编程环境中，线程之间共享全局变量可能导致数据竞争和不一致性。为了解决这一问题，Linux提供了线程局部存储（TLS），使每个线程可以拥有独立的变量副本，确保线程间的数据隔离与安全。 ... [详细]

蜡笔小新 2024-12-25 17:04:36
int
2016年10月25日数学考试：斐波那契数列与矩阵快速幂的应用

本次考试于2016年10月25日上午7:50至11:15举行，主要涉及数学专题，特别是斐波那契数列的性质及其在编程中的应用。本文将详细解析考试中的题目，并提供解题思路和代码实现。 ... [详细]

蜡笔小新 2024-12-25 13:08:21
int
Tetris 排名系统 (拓扑排序与并查集的应用)

本题旨在通过给定的评级信息，利用拓扑排序和并查集算法来确定全球 Tetris 高手排行榜。题目要求判断是否可以根据提供的信息生成一个明确的排名表，或者是否存在冲突或信息不足的情况。 ... [详细]

蜡笔小新 2024-12-24 21:03:51
int
C++实现经典排序算法

本文详细介绍了七种经典的排序算法及其性能分析。每种算法的平均、最坏和最好情况的时间复杂度、辅助空间需求以及稳定性都被列出，帮助读者全面了解这些排序方法的特点。 ... [详细]

蜡笔小新 2024-12-27 19:25:14
int
C++: 实现基于类的四面体体积计算

本文介绍如何使用C++编程语言，通过定义类和方法来计算由四个三维坐标点构成的四面体体积。文中详细解释了四面体体积的数学公式，并提供了两种不同的实现方式。 ... [详细]

蜡笔小新 2024-12-27 14:31:39

叶子美容美体养生馆os

这个家伙很懒，什么也没留下！

Tags | 热门标签

RankList | 热门文章