探索三维几何：计算空间两线段的公共垂直线与分数类算法优化

作者：叶子美容美体养生馆os | 来源：互联网 | 2024-10-23 17:53

分析：首先判断线段俩直线是否平行（或重合），如果是的话直接求。考虑4个端点到另外一条线段的距离，取最小值即可

分析&＃xff1a;

首先判断线段俩直线是否平行&＃xff08;或重合&＃xff09;&＃xff0c;如果是的话直接求。考虑4个端点到另外一条线段的距离&＃xff0c;取最小值即可。

如果不平行或重合&＃xff0c;说明俩条直线是异面直线&＃xff0c;这时最短距离既可能是某端点到另外一条线段的距离&＃xff0c;也可能是异面直线的最短距离。

如何求异面直线的最短距离&＃xff1f;假设俩条直线分别为l1&＃61;(p1,v1&＃xff09;和l2&＃61;(p2,v2),那么最短距离会在某个q1&＃61;p1&＃43;sv1和q2&＃61;p2&＃43;tv2上取到&＃xff0c;其中q1和q2分别在l1和l2上&＃xff0c;且q1q2是这俩条异面直线的公垂线。

向量q1q1&＃61;q2-q1&＃61;p2-p1&＃43;tv2-sv1垂直于V1,因此Dot(p2-p1&＃43;tv2-sv1&＃xff0c;v1)&＃61;0,根据分配率&＃xff0c;有Dot(p2-p1,v1)&＃43;t*Dot(v2,v1)-s*Dot(v1,v1)&＃61;0.注意这里的三个点积都是可以直接算出来的&＃xff0c;因此实际上得到的是一个关于t和s的一次方程。根据q1q2垂直于v2还可以得到一个一次方程&＃xff0c;联立求解即可。下面的代码直接使用了经过复杂化简以后的结果。

注意本题比较特殊&＃xff0c;要求以分数方式输出。所以可以考虑定义一个Rat类&＃xff08;代表Rational&＃xff09;来保存和计算有理数&＃xff0c;并且重载加法、减法、和乘法,然后把本题用到的俩个关键函数&＃xff1a;点到线段距离Distace2Tosegment和异面直线的最小距离LineDistace3D改写成返回有理数的版本。

代码&＃xff1a;

#include #include #include #include #include #include #include #include #include #include #include #include #define LL long long using namespace std; const double eps&＃61;1e-6; int dcmp(double x) {return fabs(x)0?1:-1); } struct Point3 {LL x,y,z;Point3(LL x,LL y,LL z):x(x),y(y),z(z){}Point3() {}void in(){cin>>x>>y>>z;} }; typedef Point3 Vector3; Vector3 operator &＃43;(Vector3 A,Vector3 B) {return Vector3(A.x&＃43;B.x,A.y&＃43;B.y,A.z&＃43;B.z); } Vector3 operator -(Vector3 A,Vector3 B) {return Vector3(A.x-B.x,A.y-B.y,A.z-B.z); } Vector3 operator * (Vector3 A,int p) {return Vector3(A.x*p,A.y*p,A.z*p); } Vector3 operator / (Vector3 A,int p) {return Vector3(A.x/p,A.y/p,A.z/p); } bool operator &＃61;&＃61; (Vector3 A,Vector3 B) {return A.x&＃61;&＃61;B.x&&A.y&＃61;&＃61;B.y&&A.z&＃61;&＃61;B.z; } int Dot(Vector3 A,Vector3 B) {return A.x*B.x&＃43;A.y*B.y&＃43;A.z*B.z; } double Length(Vector3 A) {return sqrt(Dot(A,A)); } int Length2(Vector3 A) {return Dot(A,A); } Vector3 Cross(Vector3 A,Vector3 B) {return Vector3(A.y*B.z-A.z*B.y,A.z*B.x-A.x*B.z,A.x*B.y-A.y*B.x); } LL gcd(LL a,LL b){return b?gcd(b,a%b):a;} LL lcm(LL a,LL b){return a/gcd(a,b)*b;} struct Rat {LL a,b;Rat(LL a&＃61;0):a(a),b(1) {}Rat(LL x,LL y):a(x),b(y){if(b<0) a&＃61;-a,b&＃61;-b;LL d&＃61;gcd(a,b);if(d<0) d&＃61;-d;a/&＃61;d;b/&＃61;d;} }; Rat operator &＃43; (const Rat &A,const Rat &B) {LL x&＃61;lcm(A.b,B.b);return Rat(A.a*(x/A.b)&＃43;B.a*(x/B.b),x); } Rat operator - (const Rat &A,const Rat &B) {return A&＃43;Rat(-B.a,B.b); } Rat operator *(const Rat &A,const Rat &B) {return Rat(A.a*B.a,A.b*B.b); }void updatemin(Rat &A,const Rat &B) {if(A.a*B.b>B.a*A.b) A.a&＃61;B.a,A.b&＃61;B.b; } Rat Rat_Distace2ToSegment(const Point3 &P,const Point3 &A,const Point3 &B) {if(A&＃61;&＃61;B) return Length2(P-A);Vector3 v1&＃61;B-A,v2&＃61;P-A,v3&＃61;P-B;if(Dot(v1,v2)<0) return Length2(v2);else if(Dot(v1,v3)>0) return Length2(v3);else return Rat(Length2(Cross(v1,v2)),Length2(v1)); } bool Rat_LineDistace3D(const Point3 &p1,const Point3 &u,const Point3 &p2,const Vector3 &v, Rat &s) {LL b &＃61;(LL)Dot(u,u)*Dot(v,v)-(LL)Dot(u,v)*Dot(u,v);if(b&＃61;&＃61;0) return false;LL a&＃61;(LL)Dot(u,v)*Dot(v,p1-p2)-(LL)Dot(v,v)*Dot(u,p1-p2);s&＃61;Rat(a,b);return true; } void Rat_GetPointOnLine(const Point3 &A,const Point3 &B,const Rat &t,Rat &x,Rat &y,Rat &z) {x&＃61;Rat(A.x)&＃43;Rat(B.x-A.x)*t;y&＃61;Rat(A.y)&＃43;Rat(B.y-A.y)*t;z&＃61;Rat(A.z)&＃43;Rat(B.z-A.z)*t; } Rat Rat_Distance2(const Rat &x1,const Rat &y1,const Rat &z1,const Rat &x2,const Rat &y2,const Rat &z2) {return (x1-x2)*(x1-x2)&＃43;(y1-y2)*(y1-y2)&＃43;(z1-z2)*(z1-z2); } int main() {int T;cin>>T;while(T--){Point3 A,B,C,D;A.in();B.in();C.in();D.in();Rat s,t;bool ok&＃61;false;Rat ans&＃61;Rat(1000000000);if(Rat_LineDistace3D(A,B-A,C,D-C,s))if(s.a>0&&s.a0&&t.a}

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