三维错切变换矩阵_人工智能基础直观地理解矩阵变换的意义

对线性代数理论感兴趣的朋友可以访问MIT线性代数公开课查阅(搜索LinearAlgebra)更深度的学习课程。

向量是“方向”和“数量”的组合。在一个二维或三维空间里&＃xff0c;一个向量&＃xff0c;表示一个具体的位置。我们可以通过向量和整数的运算&＃xff0c;组合而成新的位置。但是&＃xff0c;当我们要对向量存在的空间本身进行变换的时候&＃xff0c;该怎么办呢&＃xff1f;

这时&＃xff0c;我们就需要一种新的数学工具&＃xff0c;叫做矩阵。

什么是矩阵

简单来说&＃xff0c;矩阵看起来就是一组排列起来的向量&＃xff0c;其中向量的维数是矩阵的行&＃xff0c;向量的个数&＃xff0c;叫做矩阵的列。在下面的注释中&＃xff0c;就是一个3x3的矩阵&＃xff1a;

// | 5 6 7 |/// | 2 4 3 |/// | 1 9 8 |///

但是&＃xff0c;矩阵的行和列并不一定是相同的&＃xff0c;并且&＃xff0c;我们管这种行列个数相同的矩阵&＃xff0c;叫做方阵。接下来&＃xff0c;为了尽可能简化我们讨论的范围&＃xff0c;我们将只基于2x2和3x3这两种方阵研究矩阵的运算。当你理解了它们的含义之后&＃xff0c;也就不难扩展到更一般的情况了。

1.矩阵和向量的运算

首先&＃xff0c;来看方阵M和向量v相乘的运算规则&＃xff0c;简单来说&＃xff0c;就是先把向量v放倒&＃xff0c;然后依次和矩阵M的每一行中的对应元素相乘并相加&＃xff0c;每向下处理过一层&＃xff0c;就产生一个新的结果。因此&＃xff0c;最终相乘的结果&＃xff0c;还是一个向量&＃xff0c;这个向量的维数和矩阵的行数是相等的。

LinearAlgebra

例如一个3x3的方阵乘以一个三维向量&＃xff0c;得到的结果仍旧是一个三维向量&＃xff1a;

// | 5 6 7 | | 1 | | 1 * 5 &＃43; 2 * 6 &＃43; 3 * 7 |/// | 2 4 3 | x | 2 | &＃61; | 1 * 2 &＃43; 2 * 4 &＃43; 3 * 3 |/// | 1 9 8 | | 3 | | 1 * 1 &＃43; 2 * 9 &＃43; 3 * 8 |///要注意的是&＃xff0c;相乘的顺序&＃xff0c;一定是方阵在前&＃xff0c;向量在后&＃xff0c;我们才能能到一个新的向量。如果反过来&＃xff0c;就变成了两个矩阵相乘&＃xff0c;它们的含义是不同的&＃xff0c;甚至&＃xff0c;是不能相乘的。

理解了这个计算方式之后&＃xff0c;你可能会想&＃xff0c;为什么要把向量和矩阵相乘呢&＃xff1f;直接把答案说出来&＃xff0c;就是&＃xff1a;

为了变换向量所在的空间

为了变换向量所在的空间

为了变换向量所在的空间

重要的事情要说三遍&＃xff0c;那么空间变换具体的含义是什么呢&＃xff1f;我们知道&＃xff0c;在一个二维平面里&＃xff0c;我们可以选取两个基向量e1和e2确定一个空间&＃xff0c;在这个空间里&＃xff0c;向量w就可以表示为5e1&＃43;2e2。

LinearAlgebra

现在&＃xff0c;假设我们要换一组基向量e3&＃xff0c;e4表达这个2维空间&＃xff0c;在更换的过程里&＃xff0c;我们要让一些条件保持不变&＃xff1a;

• 原点位置不变&＃xff1b;
• 平行线变换后仍旧是平行线&＃xff1b;
• 直线变换后仍旧是直线&＃xff1b;

LinearAlgebra

这样&＃xff0c;同样是(5, 2)这个位置&＃xff0c;在新的坐标系中&＃xff0c;就变成了5e3&＃43;2e4&＃xff0c;也就是说&＃xff0c;同样的向量&＃xff0c;在我们变换了空间之后&＃xff0c;它就会呈现不同的样子。不难想象&＃xff0c;利用这个特性&＃xff0c;我们就能让图像呈现出远近、缩放等不同的视觉效果。

现在&＃xff0c;为了量化这个变换的过程&＃xff0c;我们把这些基向量放在一个笛卡尔坐标系中。假设&＃xff0c;e3的坐标是(x11, y21)&＃xff0c;e4的坐标是(x12, y22)&＃xff0c;其实&＃xff0c;我们不用管这个具体的数值是什么。这样&＃xff0c;(5, 2)在e3 e4空间中的变换就可以写成这样&＃xff1a;5(x11, y21) &＃43; 2(x12, y22)&＃xff0c;把这个式子做一些简单的变换就可以得到这样的结果&＃xff1a;5x11 &＃43; 2x12 &＃43; 5y21 &＃43; 2y22&＃xff0c;发现什么了么&＃xff1f;如果我们把e3 e4的值写成一个2x2方阵&＃xff0c;就更加明显了&＃xff1a;

LinearAlgebra

没错&＃xff0c;按照矩阵和向量乘积的运算法则&＃xff0c;这个结果就是变换后的向量&＃xff0c;理解了这个过程之后&＃xff0c;我们就可以反过来理解刚才强调了三遍的结果&＃xff1a;当我们用一个矩阵和向量相乘的时候&＃xff0c;是为了变换向量所在的空间。

2.单位矩阵

接下来&＃xff0c;我们来看一种特殊的方阵&＃xff0c;叫做单位矩阵&＃xff0c;这种方阵左上到右下对角线都是1&＃xff0c;其它位置都是0。例如这样&＃xff1a;

// | 1 0 0 |/// | 1 0 | | 0 1 0 |/// | 0 1 | | 0 0 1 |///

也就是说&＃xff0c;在笛卡尔坐标系中&＃xff0c;单位矩阵是由基底向量排列而成的矩阵。不难理解&＃xff0c;这种矩阵和向量相乘的时候&＃xff0c;不会带来任何变化。但通过它&＃xff0c;我们可以方便的在某个维度上对向量进行调整。

例如&＃xff0c;要水平翻转平面的X轴&＃xff0c;可以用&＃xff1a;

// | -1 0 0 |/// | -1 0 | | 0 1 0 |/// | 0 1 | | 0 0 1 |///

要垂直翻转Y轴&＃xff0c;可以用&＃xff1a;

// | 1 0 0 |/// | 1 0 | | 0 -1 0 |/// | 0 -1 | | 0 0 1 |///

要让对象远离当前位置可以用&＃xff1a;

// | 0.5 0 0 |/// | 0.5 0 | | 0 0.5 0 |/// | 0 0.5 | | 0 0 0.5 |///

如果你想不太清楚道理&＃xff0c;试着用一个向量分别去观察下和这些方阵相乘的结果&＃xff0c;一下子就会明白了。通过这些例子&＃xff0c;我们不难发现&＃xff0c;对于任意一个2x2的方阵来说&＃xff0c;它的第一列&＃xff0c;就是变换后(1, 0)所在的位置&＃xff1b;而第二列&＃xff0c;就是变换后(0, 1)所在的位置&＃xff0c;对于3x3的方阵来说&＃xff0c;道理也是如此。理解了这个规律&＃xff0c;就不难想象一个矩阵对向量空间的变化了。

3.三维空间中的坐标轴旋转

理解了基于单位矩阵对空间进行的变换之后&＃xff0c;我们来看个更一般情的情况&＃xff0c;即在三维空间中按坐标轴旋转&＃xff0c;稍后&＃xff0c;在ARKit的例子中&＃xff0c;我们将通过旋转坐标轴&＃xff0c;在空间的不同位置里放置物品。例如&＃xff0c;我们握住Z轴&＃xff0c;让XY平面水平旋转&＃xff1a;

LinearAlgebra

在这个过程里&＃xff0c;由于空间的原点不变&＃xff0c;空间的Z轴坐标也没变&＃xff0c;因此&＃xff0c;我们可以用一个XY平面来计算这个变换过程。假设已知点M&＃xff0c;如何用M的坐标得到旋转β角之后N的坐标呢&＃xff1f;我们先把它们各自的坐标写出来&＃xff1a;

LinearAlgebra

然后&＃xff0c;我们把cos(α&＃43;β)和rsin(α&＃43;β)展开&＃xff0c;并做一些简单的代数运算&＃xff0c;就可以得到用M坐标表示的N坐标&＃xff1a;

LinearAlgebra

这样&＃xff0c;再把XY平面放回立体空间&＃xff0c;根据矩阵的计算规则&＃xff0c;我们就可以得到按Z轴旋转的矩阵了&＃xff1a;

LinearAlgebra

同理&＃xff0c;我们也可以得到按X轴或Y轴旋转的变换矩阵。当然&＃xff0c;我们并不需要记住这个矩阵具体的模样&＃xff0c;稍后&＃xff0c;我们会使用相关的函数来生成这个旋转矩阵&＃xff0c;大家只要知道其中的道理就好了。

作者&＃xff1a;蚂蚁安然

链接&＃xff1a;https://www.jianshu.com/p/4a80162ed9c5

来源&＃xff1a;简书

简书著作权归作者所有&＃xff0c;任何形式的转载都请联系作者获得授权并注明出处。