群、环、域的概念

组成元素

1. 集合
2. 二元运算&＃xff1a;“&＃43;”“·”封闭性
3. 单位元identity element&＃xff1a;单位元与其他元素结合&＃xff0c;不改变元素
4. 逆元素inverse element
5. 结合律 associative property (a ∗ b) ∗ c &＃61; a ∗ (b ∗ c).
6. 交换律 commutative property a ∗ b &＃61; b ∗ a.

原群

只满足封闭性

半群&＃xff08;Semigroup&＃xff09;

满足结合律(ab)c&＃61;a(bc)的原群

幺半群&＃xff08;monoid&＃xff09;

满足结合律和存在单位元

群&＃xff08;group&＃xff09;

• 封闭性
• 结合律
• 单位元
• 逆元

阿贝尔群&＃xff08;Abelian&＃xff09;

在群的基础上满足交换律&＃xff1a;a * b &＃61; b * a

在阿贝尔群的基础上&＃xff0c;添加一种二元运算·。

环公理&＃xff1a;

1. (R,&＃43;)是阿贝尔群
2. (R,·)是幺半群
3. 乘法对加法满足分配律&＃xff1a;
   a ⋅ (b &＃43; c) &＃61; (a ⋅ b) &＃43; (a ⋅ c)
   (b &＃43; c) ⋅ a &＃61; (b ⋅ a) &＃43; (c ⋅ a)

域(Field)在交换环的基础上&＃xff0c;还增加了二元运算除法&＃xff0c;要求元素(除零以外)可以作除法运算&＃xff0c;即每个非零的元素都要有乘法逆元。
有理数、实数、复数可以形成域.

域公理

1. 满足环&＃xff1a;
   1&＃xff09; (R,&＃43;)是阿贝尔群&＃xff1a;加法封闭、结合律、幺元、逆元、交换律
   2&＃xff09;(R,·)是幺半群&＃xff1a;乘法封闭、结合律、幺元
   3&＃xff09;乘法对加法满足分配律
2. 乘法除0外有逆元
3. 乘法满足交换律