全国大学生数学建模竞赛广东省分赛A题CT系统参数标定及成像方法总结

问题一：由Beer-Lambert 定律，可以得到 X 光穿过物体前后光子数与物体厚度的关系 （正相关），以及观察两份附件中的信息，可知接收信息大致与 X 射线穿过的像素点个数（遮挡物厚度）成正相关关系 ；
又由特殊点的位置（光线射过椭圆长轴物体所接受的信息最多，射过椭圆短轴时接收的信息最少），可知长轴和短轴的交点即为椭圆中心。

问题二：使用 MATLAB 的 iradon 函数，采用直接反投影法对吸收信息数据进行转换，得到 CT 重建图像，但存在伪影问题。 因此本文改进算法，选取R-L 滤波函数，使用滤波反投影法得到降低噪声的 CT 重建图像以及吸收率矩阵。通过对附件 4 的点进行坐标变换，寻找十点在吸收率分布矩阵中的位置，继而找到 10 个位置的吸收率。

问题三：首先， 使用直接反投影法进行 CT 图像的初步重建，伪影问题仍存在。 进一步， 选取 R-L 滤波函数， 先对附件 5 的吸收信息数据进行卷积滤波计算，降低数据可能存在的噪声。进一步，将经滤波处理后的数据通过傅里叶变换和 Radon 变换，求得反投影数据，最终得到 CT 重建图像。 利用问题二中经变换后的十点的坐标信息，求得各位置对应的吸收率。

问题四： 由问题一标定的参数该模板所确定的 CT 系统相关量存在一定精度误差，经分析误差可能来源于以下几个方面：
（1） 探测器与旋转轴之间存在一定夹角，经考虑此误差对全局的影响较大且不容易通过优化算法消除；
（2） 观察图 2 模板的理论尺寸图和附件一吸收率信息，两者存在相当误差，即用于标定的均匀介质模板与实际吸收率出入较大，经 MATLAB 将附件一数据与椭圆及小圆方程拟合，误差为 5.82%；
（3） 附件一提供的吸收率不够精确，即像素点分得不够细，在做投影还原时总会模糊；
（4） 第 EU、 BI 列数据不是刚好对应位置①和位置②，理论与实际总存在一些偏差。 

5.4.2 误差改进方法
根据上述分析，通过改变模板形状、大小等可以一定程度上减轻误差。
首先，从模型一运用的求解方法来看， 探测单元间距我们是通过小圆直径和椭圆长轴确定，但由于 X 射线若被探测到数值一定是与标定模板相交，则 X 射线组实际被遮挡的宽度总大于显示在附件二中非零单元格的数量；在标定模板上增加小正圆的数量，增大寻找到被遮挡 X 射线条数最多的点的机会，可以一定程度上使探测单元间距更加准确；

我们计算旋转中心时，用了两种方法：方法一仅用了附件二少数数据，对结果的精确度影响较大；方法二通过函数拟合出小圆圆心的轨迹，然而小圆圆心对应在附件二上的数值并不容易被确定，可考虑在增加小正圆数量的基础上，使每个小圆直径的大小不尽相同，但服从一定数量规律以克服上述误差。

经过以上思考，我们作出了改进后的模板图如图 20 改进模板图。
其中， 图中标定模板皆为正圆，正方形托盘仍为 100mm*100m；各圆尺寸及
信息如下：
圆 O 半径为 32mm，吸收率为 1；
圆 P 半径为 8mm， 经过 O 点；
圆 Q 半径为 2mm，与圆 O 相切，圆 P 和圆 Q 皆为圆 O 上被挖去的部分；
圆 R 半径为 4mm 距边缘均为 4mm， 吸收率为 1.