Python学习之数据结构"树"的基础知识

知识导图

树是一种非常重要的数据结构，它是非线性结构，它不是Python内置的数据结构；

● 非线性结构
● 树是n(n≥0)个元素的集合
  ● n = 0时，称为空树
  ● 树只有一个特殊的没有前驱的元素，称为树的根Root
  ● 树中除了根结点外，其余元素只能有一个前驱，可以有零个或多个后继 # 若存在不止一个前驱则为图
● 递归定义
  ● 树T是n(n≥0)个元素的集合。n=0时，称为空树
  ● 有且只有一个特殊元素根，剩余元素都可以被划分为m个互不相交的集合T1、T2、T3、…、Tm，而每 一个集合都是树，称为T的子树Subtree
  ● 子树也有自己的根

树的概念

● 结点：树中的数据元素
● 结点的度degree：结点拥有的子树的数目称为度，记作d(v)。
● 叶子结点：结点的度为0，称为叶子结点leaf、终端结点、末 端结点
● 分支结点：结点的度不为0，称为非终端结点或分支结点
● 分支：结点之间的关系
● 内部结点：除根结点外的分支结点，当然也不包括叶子结点
● 树的度是树内各结点的度的最大值。D结点度最大为3，树的 度数就是3
● 孩子（儿子Child）结点：结点的子树的根结点成为该结点的孩子
● 双亲（父Parent）结点：一个结点是它各子树的根结点的双亲
● 兄弟（Sibling）结点：具有相同双亲结点的结点
● 祖先结点：从根结点到该结点所经分支上所有的结点。A、B、D 都是G的祖先结点
● 子孙结点：结点的所有子树上的结点都称为该结点的子孙。B的 子孙是D、G、H、I
● 结点的层次（Level）：根节点为第一层，根的孩子为第二层，以 此类推，记作L(v)
● 树的深度（高度Depth）：树的层次的最大值。上图的树深度为4
★★● 堂兄弟：双亲在同一层的结点
● 有序树：结点的子树是有顺序的（兄弟有大小，有先后次序），不能交换。
● 无序树：结点的子树是有无序的，可以交换。
● 路径：树中的k个结点n1、n2、…、nk，满足ni是n(i+1)的双 亲，称为n1到nk的一条路径。就是一条线串下来的，前一个 都是后一个的父（前驱）结点。
● 路径长度=路径上结点数-1，也是分支数
● 森林：m(m≥0)棵不相交的树的集合
 ◇ 对于结点而言，其子树的集合就是森林。A结点的2棵子 树的集合就是森林

树的特点

● 唯一的根
● 子树不相交
● 除了根以外，每个元素只能有一个前驱，可以有零个或多个后继
● 根结点没有双亲结点（前驱），叶子结点没有孩子结点（后继）
● vi是vj的双亲，则L(vi) = L(vj)-1，也就是说双亲比孩子结点的层次小1
举例:
● 堂兄弟的双亲是兄弟关系吗？
● 堂兄弟定义是，双亲结点是同一层的节点
● 上图G和J是堂兄弟，因为它们的双亲结点D和E在第三层， 依然是堂兄弟
● 因此，堂兄弟的双亲不一定是兄弟关系

● 每个结点最多2棵子树
  ◇ 二叉树不存在度数大于2的结点
● 它是有序树，左子树、右子树是顺序的，不能交换次序
● 即使某个结点只有一棵子树，也要确定它是左子树还是右子树
● 二叉树的五种基本形态
  ◇ 空二叉树
  ◇ 只有一个根结点
  ◇ 根结点只有左子树
  ◇ 根结点只有右子树
  ◇ 根结点有左子树和右子树
  ◇ 左斜树，所有结点都只有左子树
  ◇ 右斜树，所有节点都只有右子树

● 一棵二叉树的所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子结点只存在在最下面一层。
● 同样深度二叉树中，满二叉树结点最多。
● k为深度（1≤k≤n），则结点总数为2^k-1
● 如下图，一个深度为4的15个结点的满二叉树

● 若二叉树的深度为k，二叉树的层数从1到k-1层的结点数都达到了最大个数，在第k层的所有结点都集中在最左边，这就是完全二叉树
● 完全二叉树由满二叉树引出
● 满二叉树一定是完全二叉树，但完全二叉树不一定是满二叉树
● k为深度（1≤k≤n），则结点总数最大值为2^k-1，当达到最大值的时候就是满二叉树

◆ 举例，完全二叉树，最下一层的叶子结点都连续的集中在左边

● 举例，不是完全二叉树

二叉树的性质

● 性质1
  ◇ 在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点(i≥1)
● 性质2
  ◇ 深度为k的二叉树，至多有2^k-1个节点(k≥1)
  ◇一层 2-1=1
  ◇ 二层 4-1=1+2=3
  ◇ 三层 8-1=1+2+4=7
● 性质3
  ◇ 对任何一棵二叉树T，如果其终端节点数为n0，度数为2的结点为 n2，则有n0=n2+1
  ◇ 换句话说，就是叶子结点数-1就等于度数为2的结点数。
● 证明：
  ◇ 总结点数为n=n0+n1+n2，n1为度数为1的结点总数。
  ◇ 一棵树的分支数为n-1，因为除了根结点外，其余结点都有一 个分支，即n0+n1+n2-1。
  ◇ 分支数还等于n00+n11+n22，n2是2分支结点所以乘以2， 2n2+n1。
  ◇ 可得2*n2+n1=n0+n1+n2-1 => n2=n0-1
● 其他性质
  ◇ 高度为k的二叉树，至少有k个结点。
  ◇ 含有n（n≥1）的结点的二叉树高度至多为n。和上句一个意思
  ◇ 含有n（n≥1）的结点的二叉树的高度至多为n，最小为
math.ceil(log2 (n+1))，不小于对数值的最小整数，向上取整。
  ◇ 假设高度为h，2^h-1=n => h = log2 (n+1)，层次数是取整。 如果是8个节点，3.1699就要向上取整为4，为4层
● 性质4
  ◇ 具有n个结点的完全二叉树的深度为int(log2n)+1或者
math.ceil(log2(n+1))
● 性质5
  ◇ 如果有一棵n个结点的完全二叉树（深度为性质4），结点按照层 序编号，如下图 :

  ◇ 如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲 是int(i/2)，向下取整。就是子节点的编号整除2得到的就是父结 点的编号。父结点如果是i，那么左孩子结点就是2i，右孩子结点 就是2i+1。
  ◇ 如果2i>n，则结点i无左孩子，即结点i为叶子结点；否则其左孩 子结点存在编号为2i。
  ◇ 如果2i+1>n，则结点i无右孩子，注意这里并不能说明结点i没有 左孩子；否则右孩子结点存在编号为2i+1。