作者：小森林 | 来源：互联网 | 2023-10-12 12:52
题目：有N个鸡蛋和M个篮子，把鸡蛋放到M个篮子里，每个篮子都不能为空。另外，需要满足：任意一个小于N的正整数，都能由某几个篮子内蛋的数量相加的和得到。写出程序，使得输入一个(N,M)，输出所有可能的分
题目：
有N个鸡蛋和M个篮子，把鸡蛋放到M个篮子里，每个篮子都不能为空。另外，需要满足：任意一个小于N的正整数，都能由某几个篮子内蛋的数量相加的和得到。写出程序，使得输入一个(N,M)，输出所有可能的分配情况。
从题意中应该可以得出，对于(1,1,2,2)和(1,2,1,2)这两种组合，应该是一样的。
因而对于这M个篮子中的鸡蛋数量，我们用数组basket[M]来表示，我们按照非递减顺序进行排列，即basket[i] <= basket[i+1]
1.我们利用归纳法来总结出一个规律：
对于前n个篮子，其鸡蛋数量总和为Sn，那么对于第n+1个篮子，其鸡蛋数量应该满足：
basket[n+1] <= Sn + 1，如果basket[n+1] > Sn + 1，那么Sn + 1这个数将无法通过相应的篮子鸡蛋数相加来获得。
由于是非递减序列，因而
basket[n] <= basket[n+1] <= Sn + 1
2.我们来证明符合上式的数组能够满足条件“任意一个小于N的正整数，都能由某几个篮子内蛋的数量相加的和得到”。
当M = 1时，basket[0] = 1，当M=2时，取basket[1] = 1，能够满足上述条件。
取basket[1] = 2，也能够满足上述条件。
假设M = n-1时，满足上述条件，我们来证明当M = n时亦满足。
前n-1个篮子的鸡蛋数量总和为Sn-1，此时加上第n个篮子，总和为Sn = Sn-1 + basket[n-1]。即证明Sn - 1，Sn - 2，Sn - 3，Sn - (basket[n-1] - 1)都可以由某几个篮子内蛋的数量相加的和得到。由于basket[n-1] <= Sn-1，而且小于或者等于Sn-1的数能由某几个篮子内蛋的数量相加的和得到，所以Sn - 1，Sn - 2，Sn - 3，Sn - (basket[n-1] - 1)亦可得到。
证毕。
3.对于N和M的值，我们在输入后即可做一个判断。
2.1 当N 2.2 当N >= M时，第一个篮子必然要放1个鸡蛋，其后面的篮子我们按照basket[n] <= basket[n+1] <= Sn + 1取最大值，依次为2,4,8,16......，鸡蛋总数为2^M - 1，即M个篮子的鸡蛋数量最大值。
所以M <= N <2^M
4.代码要点
4.1 对于函数
void solve(int current_sum, int basket_id, int current_num, int* basket, int N, int M)
其中current_sum表示当前所有篮子鸡蛋的总和，
basket_id表示当前篮子的序号，
current_num表示将要放到当前篮子去的鸡蛋数量，
basket, N, M值都是main函数中的原值，在递归中这三个参数基本没变。
初始化为(0, 0, 1, basket, N, M)表示此时所有鸡蛋数量为0，将要把1个鸡蛋放进第0个篮子里面。
4.2 对于函数solve中的
if ((current_sum + current_num*(M - basket_id)) > N || (current_sum + (current_sum + 1)*((1<<(M - basket_id)) - 1)) < N)
return;
我们采用的是搜索中的剪枝技术，即在每次递归时，通过预先判断来看此路是否走得通。
(current_sum + current_num*(M - basket_id)) > N 表示之后的所有篮子都添加最小鸡蛋数量，如果这都大于N，那么肯定不符。
(current_sum + (current_sum + 1)*((1<<(M - basket_id)) - 1))
其中(current_sum + 1)*((1<<(M - basket_id)) - 1) 可以这样解释：
假设前面的篮子总和为n，那么紧挨着的后一个篮子里鸡蛋数量最大值为n+1，其后的一个篮子最大值为n + (n + 1) + 1 = 2n + 2，这之后的一个篮子的最大值为n + (n + 1) + (2n + 2) + 1 = 4n + 4......（即这里取的都是Sn + 1）
依次类推，我们发现n + 1 + (2n + 2) + (4n + 4) + ...... = (2^count - 1)*(n + 1)，count表示相应的篮子数量。
5.代码如下：
N eggs M baskets
1 #include
2 #include
3
4 void solve(int current_sum, int basket_id, int current_num, int* basket, int N, int M)
5 {
6 if (current_sum == N && basket_id == M)
7 {
8 int i;
9 for (i = 0; i )
10 printf("%d\t", basket[i]);
11 printf("\n");
12 return;
13 }
14
15 if (current_num > N || basket_id >= M)
16 return;
17
18 if ((current_sum + current_num*(M - basket_id)) > N ||
19 (current_sum + (current_sum + 1)*((1<<(M - basket_id)) - 1)) < N)
20 return;
21
22 int j;
23 for (j = current_num; j <= current_sum + 1; j++)
24 {
25 basket[basket_id] = j;
26 solve(current_sum + j, basket_id + 1, j, basket, N, M);
27 }
28 }
29
30 int main()
31 {
32 int N;//the number of eggs
33 int M;//the number of baskets
34 while (scanf("%d%d", &N, &M) != EOF)
35 {
36 if (N = 1<0)
37 printf("Wrong data!\n");
38 else
39 printf("The combinations are as below:\n");
40
41 int* basket = (int*)malloc(sizeof(int)*M);
42 solve(0, 0, 1, basket, N, M);
43 free(basket);
44 }
45 return 0;
46 }
1 #include
2
3 void solve(int current_sum, int basket_id, int current_num, int* basket, int N, int M)
4 {
5 if (current_sum == N && basket_id == M)
6 {
7 int i;
8 for (i = 0; i )
9 printf("%d\t", basket[i]);
10 printf("\n");
11 return;
12 }
13
14 if (current_num > N || basket_id >= M)
15 return;
16
17 if ((current_sum + current_num*(M - basket_id)) > N ||
18 (current_sum + (current_sum + 1)*((1<<(M - basket_id)) - 1)) < N)
19 return;
20
21 int j;
22 for (j = current_num; j <= current_sum + 1; j++)
23 {
24 basket[basket_id] = j;
25 solve(current_sum + j, basket_id + 1, j, basket, N, M);
26 }
27 }
28
29 int main()
30 {
31 int N;//the number of eggs
32 int M;//the number of baskets
33 while (scanf("%d%d", &N, &M) != EOF)
34 {
35 if (N = 1<0)
36 printf("Wrong data!\n");
37 else
38 printf("The combinations are as below:\n");
39
40 int* basket = new int[M];
41 solve(0, 0, 1, basket, N, M);
42 delete[] basket;
43 }
44 return 0;
45 }
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