漫步线性代数一——引言

我们以线性代数的中心问题开启我们的航程&＃xff1a;解决线性方程。最重要并且也是最简单的情况就是位置函数的数目等于方程的数目。现在我们有包含n个未知变量的n个方程&＃xff0c;首先从n&＃61;2开始&＃xff1a;

1. 消元 第二个方程减去第一个方程的四倍。从而消去第二个方程中的x，只留下了关于y的方程&＃xff1a;
   

   (方程2)−4(方程1)−3y&＃61;−6(2)
   这样就得到y&＃61;2。然后x从第一个方程1x+2y=3计算出来&＃xff1a;
   
   1x&＃43;2(2)&＃61;3x&＃61;−1(3)
   计算出来后&＃xff0c;x,y也应该满足第二个方程。代入得&＃xff1a;4×(−1)&＃43;5×2&＃61;6

2. 行列式 y&＃61;2完全依赖于方程中的六个数。对于y存在一个公式(当然x也有)&＃xff0c;是两个行列式的比值&＃xff1a;
   

   y&＃61;∣∣∣1436∣∣∣∣∣∣1425∣∣∣&＃61;1⋅6−3⋅41⋅5−2⋅4&＃61;−6−3&＃61;2(4)
   如果你知道2×2方阵的行列式&＃xff0c;那么它就没有那么神秘了。它同样给出了解y&＃61;2。同样利用行列式&＃xff0c;我们可以求出x：
   
   x=∣∣∣3625∣∣∣∣∣∣1425∣∣∣=3⋅5−2⋅61⋅5−2⋅4=3−3=−1(5)

我们来比较这两种方法&＃xff0c;考虑n非常大(在科学计算中n=1000是非常适中的大小)。事实就是直接对1000个方程使用行列式将是一个大灾难。左边将会有百万级别的数目&＃xff0c;既然是正确的&＃xff0c;但是效率很低。之后会提到该公式如何得到(克莱姆法则)&＃xff0c;但是目前我们需要一个很好的办法来解决这1000个方程。

最好的办法是高斯消元法。这个算法一直被用于解决大型的方程组。以后的大部分例子都是n&＃61;3&＃xff0c;这是看不出太大区别。方程(2)(4)基本使用相同的步骤得到y&＃61;2。之后通过回带到方程(3)中很快得出x。对于更大的n值&＃xff0c;依然有效。消去法比计算行列式要好。

消去法的想法看起来很简单&＃xff0c;通过几个例子就能掌握它。它是非常基础的内容&＃xff0c;通过简化矩阵我们就能理解它。在此我想讲四点更深层次的内容&＃xff1a;

1. 线性代数带来了平面几何。在十维空间中可视化九维平面不太容易。而理解相交于十个方程解的那些平面更难。但是不见得是不可能的。在图1 中有两条直线&＃xff0c;相交于点(x,y)&＃61;(−1,2)。线性代数将图像放到十维空间里&＃xff0c;在这个空间里&＃xff0c;我们的直觉不得不去想象其几何形状。
   

   
   
   图1&＃xff1a;左边是例子的单个解&＃xff0c;中间和右边是奇异情况&＃xff0c;分别是无解和多个解
   

2. 现在考虑矩阵符号&＃xff0c;将n个未知量表示成向量x&＃xff0c;n个方程表示成Ax=b。我们用消去矩阵乘以A得到上三角矩阵U。这些步骤将矩阵A分解为L×U&＃xff0c;其中L是下三角矩阵：
   

   A=∣∣∣1425∣∣∣=∣∣∣1401∣∣∣∣∣∣102−3∣∣∣=L×U(6)
   首先我们需要介绍矩阵和向量以及乘法规则。每个矩阵都存在转置AT。这个矩阵还存在逆矩阵A−1

3. 大部分情况下&＃xff0c;消去法不会存在问题。矩阵可逆的话&＃xff0c;方程Ax&＃61;b还有一个解。但是在特殊的情况下这种方法就被打破了&＃xff0c;既可能是方程组的顺序出错(通过交换一笑就能产生)&＃xff0c;也可能是方程没有唯一解。如果将例子中的5换成8&＃xff0c;就出现了奇异的情况&＃xff1a;
   

   1x&＃43;2y&＃61;34x&＃43;8y&＃61;6(7)
   消去法依然用第二个减去第一个的四倍&＃xff0c;那么结果是&＃xff1a;
   
   (方程2)−4(方程1)0&＃61;−6

4. 对于n个方程组，我们希望粗略算出需要多少步消去运算。计算代价经常决定着模型的精度。一百个方程需要一百万步(乘法和减法)的三分之一。计算机可以很快地计算出来。在一百步之后，舍入误差就已经很明显了。(有些问题敏感，而有些不敏感)在不知道全部细节的情况下，我们想明白实际中出现的大型系统以及他们是如何被解决的。

之后我会尽可能有效的介绍消去算法。这个算法用于各种各样的应用中，同时，用矩阵的方式(系数矩阵A&＃xff0c;消去矩阵E，行交换矩阵P以及因子L,U)理解它也是非常重要的。我希望接下来的一系列文章能够让大家感到轻松。