量子力学中的测量

随便总结一下，可能有错...
大概分成三个内容，一般测量、投影测量（物理书上常见）、POVM。POVM涉及到的很多东西还搞不太清楚，因为详细讲解它的书都太数学了，不数学的书讲的太笼统，所以只简单带过意思意思。
\(\def\vec#1{\boldsymbol{#1}}\) \(\def\bra#1{\langle#1|}\) \(\def\ket#1{|#1\rangle}\) \(\def\dirac#1#2{\langle#1|#2\rangle}\)

一般测量

一般测量的测量假设是：

测量由一组测量算符\(\{M_m\}\)描述，测量算符须满足完备性方程\[\sum_mM^\dagger_mM_m=I\]这些算符作用到被测状态上，指标\(m\)表示测量可能得到的结果。设测量前的状态为\(\ket{\psi}\)，则测得结果\(m\)的概率为\[p(m)=\bra{\psi}M^\dagger_mM_m\ket{\psi}\]测量后系统的状态为\[\frac{M_m\ket{\psi}}{\sqrt{\bra{\psi}M^\dagger_mM_m\ket{\psi}}}\]且完备性方程给出了概率和为\(1\)：\[\sum_mp(m)=\sum_m\bra{\psi}M^\dagger_mM_m\ket{\psi}=1\]

以概率\(1\)区分量子状态

区分量子状态的问题是这样叙述的：Alice从一组状态\(\{\ket{\psi_i}\},(i=1,\cdots,n)\)中随机抽出一个发送给Bob，Bob需要确定Alice发给他的状态的指标\(i\).

如果各个量子态\(\{\ket{\psi_i}\},(i=1,\cdots,n)\)是正交的，则Bob可以通过定义一组测量算子\(\{M_i\},(i=0,1,\cdots,n)\)来以概率\(1\)区分所有的量子态。测量算符的定义为：\[M_i=\ket{\psi_i}\bra{\psi_i}\\M_0=\sqrt{I-\sum_{i\neq0}M_i^\dagger M_i}\]注意这里每个测量算符都是半正定的，从而是厄米的，所以可以简单地验证，确实满足完备性方程。这样，设Bob收到的量子态是\(\ket{\psi_j}\)则测得结果\(i\)的概率为\[p(i)=\bra{\psi_j}M_i^\dagger M_m\ket{\psi_j}=\delta_{ij}\]即，发送来\(\ket{\psi_j}\)态，则测得结果为\(j\)的概率为\(1\)，也就是说，以概率\(1\)得到正确结果。

如果各量子态\(\{\ket{\psi_i}\},(i=1,\cdots,n)\)不正交，则可以证明不存在一组测量算符能以概率\(1\)区分各量子态。

证明：要证明的是没有测量可以区分非正交的量子态\(\ket{\psi_1}, \ket{\psi_2},\cdots\)使用反证法，假设有测量可以做到这一点：如果状态是\(\ket{\psi_1}\)（或\(\ket{\psi_2},\cdots\)），则测量到\(j\)使得\(f(j)=1\)（或\(f(j)=2,\cdots\)）的概率为\(1\)，这里\(f(j)=i\)表示测得结果\(j\)根据某个对应法则推断出态的编号是\(i\).
定义\[E_i=\sum\limits_{j:f(j)=i}M^\dagger_jM_j\]则对于抽取出的量子态\(\ket{\psi}\)，测量、推断得出是第\(i\)态的概率是\[p(i)=\bra{\psi}E_i\ket{\psi}\]根据假设应该有\[\bra{\psi_i}E_i\ket{\psi_i}=1\]由于\(\sum_iE_i=I\)，所以\(\sum_i\bra{\psi_j}E_i\ket{\psi_j}=1\)，由算符的半正定性可得\(\bra{\psi_j}E_i\ket{\psi_j}=\delta_{ij}\)，进而\(\sqrt{E_i}\ket{\psi_j}=0,(i\neq j)\). 对\(j’\neq j\)，设\(\ket{\psi_j}=\alpha\ket{\psi_{j'}}+\beta\ket{\phi}\)，其中\(\ket{\phi}\)和\(\ket{\psi_{j'}}\)正交，由归一性可知\(|\beta|<1\)，进一步就有\(\sqrt{E_j}\ket{\psi_j}=\beta\sqrt{E_j}\ket{\phi}\)，由此可知\[\bra{\psi_j}E_j\ket{\psi_j}=|\beta|^2\bra{\phi}E_j\ket{\phi}\leqslant|\beta|^2\sum_i\bra{\phi}E_i\ket{\phi}=|\beta|^2\dirac{\phi}{\phi}=|\beta|^2<1\]与假设矛盾。

投影测量

关于量子力学的物理书上所讲的测量一般都是投影测量。投影测量的测量假设是这样描述的：

投影测量由系统状态空间上的一个代表可观测量的厄米算符\(M\)描述，且具有谱分解\[M=\sum_mmP_m\]其中\(P_m\)是向本征值\(m\)的本征子空间\(M\)上的投影算符，测量的结果对应于本征值\(m\)。对于状态\(\ket{\psi}\)，测量得出结果\(m\)的概率为\[p(m)=\bra{\psi}P_m\ket{\psi}\]且测量后状态变为\[\frac{P_m\ket{\psi}}{\sqrt{p(m)}}\]

投影测量是一般测量的特殊情况。对一般测量加上限制条件：1.\(M_m\)是厄米算符，2.\(M_mM_{m'}=M_m\delta_{mm'}\)则得到投影测量（这时，\(M_m\)就相当于\(P_m\)，注意投影算子的幂等性）。

\(\def\vec#1{\boldsymbol{#1}}\) \(\def\bra#1{\langle#1|}\) \(\def\ket#1{|#1\rangle}\) \(\def\dirac#1#2{\langle#1|#2\rangle}\)

POVM测量

回顾前面两个不同版本的测量假设，它们都规定了两件事情：1测量到某结果的概率，2测量到某结果后态的变化。在许多测量中，我们只关心测得的结果，而不管测量以后态如何变化（比方说得出测量结果后, 态就扔掉了），这时可以使用POVM测量（positive operator-valued measure，正定算子取值测度）。

在一般测量的背景下，如果定义\[E_m=M^\dagger_mM_m\]则测得结果\(m\)的概率为\[p(m)=\bra{\psi}E_m\ket{\psi}\]且完备性方程变为\(\sum_mE_m=I\)，这里的\(\{E_m\}\)称为一个POVM。反过来，假设存在一个POVM\(\{E_m\}\)，测得结果\(m\)的概率由上式给出，则定义\(M_m=\sqrt{E_m}\)，显然也有\(\sum_m M^\dagger_m M_m=\sum_mE_m=I\)，所以\(\{M_m\}\)构成了一般测量。

更一般地可以对POVM下定义（注意，这里不管测量后态如何改变）：

如果算符\(\{E_m\}\)满足1.半正定，2完备性\(\sum_mE_m=I\)，则说\(\{E_m\}\)是一个POVM，测量出结果\(m\)的概率为\[p(m)=\bra{\psi}E_m\ket{\psi}\]

可以证明，任何一般测量，如果它的测量算符和对应的POVM相同，即\(M_m=M_m^\dagger M_m\)，那么该一般测量是投影测量:

证明：已知\(M_m=M_m^\dagger M_m\)，两边取厄米共轭，得到\(M^\dagger_m=M^\dagger_mM_m\)，即\(M_m^\dagger=M_m\)，即\(M_m\)厄米。至此，只要再证明\(M_mM_{m'}=\delta_{mm'}M_m\)即可完成从一般测量到投影测量的退化。再次由\(M_m=M_m^\dagger M_m\)得到\(M_m^2=M_m\)，由此可知\(M_m\)幂等。进一步，由完备性方程\(\sum_mM^\dagger_mM_m=I\)得到\(\sum_mM_m=I\)，记为\((*)\)式。由\(M_k\)厄米（从而半正定），知其有谱分解\[M_k=\sum_i\lambda_i^{(k)}\ket{i^{(k)}}\bra{i^{(k)}}\]则其平方为\[M_k=\sum_i\lambda_i^{(k)2}\ket{i^{(k)}}\bra{i^{(k)}}\]由幂等性知上面二式相等，因此\(\lambda^{(k)2}=\lambda^{(k)}\)，即\(\lambda^{(k)}=1\)或\(0\)，所以\(M_k\)的谱分解改写为\[M_k=\sum_{i'}\ket{{i'}^{(k)}}\bra{{i'}^{(k)}}\]其中指标\(i'\)代表那些本征值为\(1\)的，上式记为\((**)\)式。由\((*)\)式可得\[\bra{i'^{(k)}}\sum_kM_k\ket{i'^{(k)}}=1\]把求和拆分得\[\bra{i'^{(k)}}\left(\sum_{k'\neq k}M_{k'}+M_k\right)\ket{i'^{(k)}}=1\]又因为\(M_k\ket{i'^{(k)}}=\ket{i'^{(k)}}\)所以得到\[\bra{i'^{(k)}}\sum_{k'\neq k}M_{k'}\ket{i'^{k}}=0\]由于\(M_k\)都是半正定的，所以上式求和为零意味着每一项都为零，综上有\[\bra{i'^{(k)}}M_{k'}\ket{i'^{k}}=\delta_{kk'}\]将\(M_{k'}=\sum_{j'}\ket{j'^{(k')}}\bra{j'^{(k')}}\)代入上式得\[\sum_{j'}|\dirac{i'^{(k)}}{j'^{(k')}}|^2=0,(k\neq k')\]求和的每一项都非负，所以有\[\dirac{i'^{(k)}}{j'^{(k')}}=0,(k\neq k')\]所以\[M_kM_{k'}=\left(\sum_{i'}\ket{i'^{(k)}}\bra{i'^{(k)}}\right)\left(\sum_{j'}\ket{j'^{(k')}}\bra{j'^{(k')}}\right)=0,(k\neq k')\]上式结合幂等性，正好是\(M_kM_{k'}=\delta_{kk'}M_k\).

不出错地区分量子态

前面针对正交的各态，说清楚了如何以概率\(1\)正确地区分量子态，即在正交的情况下，不论给我什么态，我总能正确地区分。但是对于不正交的各态，已经证明，不存在一个测量\(\{M_m\}\)总能正确地区分。但是可以设计测量方案，以一定的概率给出正确的答案，而剩下的概率不给出答案（而不是给出错误的答案）。

也就是说，可以构造一个POVM\(\{E_1,E_2,\cdots,E_{m+1}\}\)对于一个从一组线性无关（不一定正交）的态\(\ket{\psi_i},\cdots,\ket{\psi_m}\)中选出的量子态，使得如果测量结果是\(E_i,(i=1,\cdots,m)\)则可以正确地判定选出的状态是\(\ket{\psi_i}\).

这样一来，就要求构造一组\(\{E_i\}\)，使得\(\bra{\psi_i}E_i\ket{\psi_i}>0\)而\(\bra{\psi_i}E_j\ket{\psi_i}=0,(i\neq j)\). 构造方法是，对每个指标\(i\)，在系统的状态空间中选取一个矢量\(\ket{\phi_i}\)满足对所有的\(j\neq i\)有\(\dirac{\phi_i}{\psi_j}=0\)和\(|\dirac{\phi_i}{\psi_i}|^2>0\). 注意这一点总是可以做到的(如何做到后面说)，不论状态\(\ket{\psi_i},\cdots,\ket{\psi_m}\)是否足以张成系统的整个状态空间。在此基础上，对\(i=1,\cdots,m\)定义\(E_i=\ket{\phi_i}\bra{\phi_i}\)，和\(E_{m+1}=I-\sum_{i=1}^mE_i\)，则既满足不出错的条件，也满足完备性方程。要注意的是\(\bra{\psi_i}E_{m+1}\ket{\psi_i}\)不一定为零，所以进行一次测量有不为零的概率得到结果\(E_{m+1}\)，这并不能给出任何关于量子态的判断，因此虽然不出错，但并非总能正确地判断。

现在说如何做到。我们要从\(\{\ket{\psi_i}\}\)得到\(\{\ket{\phi_i}\}\)，而要求\(\{\ket{\psi_i}\}\)满足\((1)\dirac{\phi_i}{\phi_j}=\delta_{ij}\), \((2)|\dirac{\phi_i}{\psi_i}|^2>0\), \((3)\) 如果\(i\neq j\)则\(\dirac{\phi_i}{\psi_j}=0\). 为此，令\(\ket{\phi'_i}=\ket{\psi_i}-P_i\ket{\psi_i}\)，其中\(P_i\)是除了\(\ket{\psi_i}\)以外，其余\(m-1\)个矢量张成的空间的投影算符。这样，可证明\(\ket{\phi'_i}\)满足后两条，且当\(i\neq j\)有\(\dirac{\phi'_i}{\phi'_j}=0\)。再令\(\ket{\phi_i}=\frac{1}{\sqrt{\dirac{\phi'_i}{\phi'_i}}}\ket{\phi_i}\)，则上面三条都满足。那么，投影算符\(P_i\)怎么构造？可以由除了第\(i\)个矢量的剩余\(m-1\)个矢量经过Gram-Schmidt正交化步骤而得到。

一般测量和投影测量的转化

前面已经说到，附加两个条件（厄米性和正交性），就可以从一般测量退化到投影测量。但是下面定理表明，通过增加一个辅助子系统并对复合系统进行幺正变换，可以使得一般测量完全转化为投影测量。

设系统\(Q\)上有一般测量\(\{M_m\}\)。再此基础上引入假想的辅助系统\(R\)，该系统上有一组标准正交基\(\ket{m}\)，正好与\(Q\)上能测得的结果一一对应。把辅助子系统中的任一状态记为\(\ket{0}\)，把\(Q\)中待测量的态记为\(\ket{\psi}\)，则复合系统的态为\(\ket{\psi}\ket{0}\)。由于系统\(Q\)上的测量算符已知，为\(\{M_m\}\)，据此定义一个幺正算符\(U\)如下\[U:\quad\ket{\psi}\ket{0}{\rightarrow}\sum_mM_m\ket{\psi}\ket{m}\]该幺正算符定义在复合系统的态空间上，但只在诸如\(\ket{\psi}\ket{0}\)态上是非平凡的（\(\ket{\psi}\)取遍\(Q\)的态空间，而\(\ket{0}\)固定），由测量算符\(\{M_m\}\)的完备性方程，可验证该算符确实是幺正的。

在进行幺正变换后，对复合系统进行由投影算符\(P_m=I_Q\otimes\ket{m}\bra{m}\)定义的投影测量，依据投影测量假设，测得结果\(m\)的概率为\[p(m)=\sum_i\sum_j\bra{i}\bra{\psi}M_i^\dagger P_mM_j\ket{\psi}\ket{j}\]注意上式中\(P_m=I_Q\otimes\ket{m}\bra{m}\)而\(M_i\)只定义在\(Q\)的态空间上，上式等于\[p(m)=\bra{\psi}M_m^\dagger M_m\ket{\psi}\]这正好是一般测量假设中的两条内容之一。再次依照投影测量的假设，测量的出结果\(m\)后，系统的态为\[\frac{P_m\sum_iM_i\ket{\psi}\ket{i}}{\sqrt{\bra{\psi}M_m^\dagger M_m\ket{\psi}}}=\frac{M_m\ket{\psi}\ket{m}}{\sqrt{\bra{\psi}M_m^\dagger M_m\ket{\psi}}}\]上面的态是一个直积态，对\(Q\)系统而言是态\[\frac{M_m\ket{\psi}}{\sqrt{\bra{\psi}M_m^\dagger M_m\ket{\psi}}}\]正好是一般测量假设中的另一条内容。

因此通过附加辅助系统，并加以幺正变换，可以用投影测量来达到一般测量，这个结论好像叫做Neumark扩张定理。

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