《离散时间信号处理学习笔记》—连续时间信号的采样（二）

注：本博客是基于奥本海姆《离散时间信号处理》第三版编写，主要是为了自己学习的复习与加深。

一、离散时间信号的连续时间处理

1、离散时间信号的连续时间处理图示如下

图4.1

2、根据理想D.C转换器的定义，对于|Ω|≥π/T，从而有都必定为零。因此，C/D转换器对yc(t)采样而不会引起混叠，xc(t)和yc(t)就能表示为

式（4.1）

和

式(4.2)

式中，x[n]=xc(nT)，y[n]=yc(nT)。图5.1所示系统的频域关系为

式（4.3）

将式(5.3)前两个带入后一个可得：整个系统表示为一个离散时间系统，其频率响应为

式(4.4)

或者说，如果该连续时间系统的频率响应为

式(4.5)

那么图5.1所系系统的总频率响应就等于一个给定的H(ejw)。

二、利用离散时间处理改变采样率

1、往往有必要改变一个离散时间信号的采样率，也就是说，为了等到同一个连续时间信号为基础的一个新的离散时间序列

式中，T1≠T。这个操作称为重采样。

一）、采样率按整数因子减小

1、利用“采样”一个序列可以降低一个序列的采样率，即定义一个新的序列为

式（4.6）

由式(4.6)定义的系统如图4.2所示，称为采样率压缩器，或者称为压缩器。

1）、由式(4.6)可以用采样率周期Td=MT直接采样xc(t)来得到。

2）、再者，如果Xc(jΩ)=0，|Ω|≥ΩN，并且π/Td=π/(MT)≥ΩN，那么xd[n]也是xc(t)的真正表示。也就是说，如果原采样至少是奈奎斯率的M倍，或者改序列的带宽首先用离散时间滤波减小M倍，那么采样率就能降低π/M而不会引起混叠。

通常，减少采样率的过程（包括任何滤波）称为减采样。

2、采样一个连续时间信号，求出压缩器输入、输出间的频率关系是有用的。而这里将是一种DTFT之间的关系。虽然可用多种方法来导出所要求的的结果，但是将把推导建立在对采样连续时间信号已经得到的结果的基础上。首先，x[n]=xc(nT)的DTFT是

式(4.7)

类似的，以Td=MT的xd[n]=x[nM]=xc(nTd)的DTFT是

式(4.8)

现在由于Td=MT，式（4.8）就能够写成

式(4.9)

根据相关推论，式(4.9)可以用另一种表示为

式(4.10)

1）、式(4.7)是利用连续时间信号，xc(t)的博里叶变换来表示样本序列x[n]（采样周期为T）的博里叶变换；式(4.10)则是利用序列x[n]的博里叶变换来表示离散时间采样序列xd[n]（采样周期为T）的博里叶变换。

2）、如果将式(4.8)与式(4.10)比较，就能看出；Xd(ejw)既能认为是由频率按w=ΩTd作瓷都变换，并按2π的整数倍移位的武术个Xc(jΩ)的幅度加权复本所组成的；也可以看成由频率受到M倍扩展的，并按2π的整数倍移位的M个周期博里叶变换X(ejw)的幅度加权复本所组成的。

3）、任何一种解释都说明：Xd(ejw)是周期的，周期为2π，并且只要保证X(ejw)是带限的，即

式(4.11)

以及2π/M≥2wN，就可以避免混叠。

3、一般为了在以M因子减采样时避免混叠，就要求

式(4.12)

如果该条件不满足，就会发生混叠，但是对于某些应用来说是允许的。在另一些情况下，如果减采样之前希望减少信号x[n]的带宽，减采样也可以没有混叠的情况下完成。

4、由上诉讨论可知，对于M因子减采样的一般系统就是图5.2所示的系统。这样的系统称为抽取器，而用低通过滤在紧跟着压缩的减采样过去称为抽泣。

图5.2

二）、采样率按整数因子增加

1、考虑一个信号x[n]，希望将他的采样率增加L倍。若考虑如下的连续时间信号xc(t)，那么目的就是要得到样本为

式(4.13)

的序列，式中Ti=T/L，而xi[n]要从样本序列

式(4.14)

中得到。把增加采样率的过程称为增采样。

2、由式（4.13）和式(4.14)得到

式(4.15)

图4.3所示处了一个禁用离散时间处理从x[n]得到xi[n]的系统。

图4.3

该系统的左边称为采样扩展器，或简称为扩展器。它的输出为

式(4.16)

或者等效为

式(4.17)

该系统的右边是一个截止频率为π/L，增益为L的低通离散时间滤波器。该系统起的作用类似于理想D.C转换器的作用。首先产生一个离散时间冲激串xc[n]，然后用低通滤波器来重构该序列。xe[n]的博里叶变换可以表示成

式(4.18)

因此，扩展器输出的博里叶变换就是频率尺度收到变换的输入的博里叶变换，也就是说，用wL代表w以使的现在的是按下式归一化得到的：

式(4.19)

3、通过以上讨论说明，如果序列x[n]=xc(nT)是经采样而得到的(没有混叠)，如4.3所示的系统确实给出了一个满足式(4.13)的输出。因此，该系统称为内插器，因为系统填补了丢失的样本，并因此把增采样的过程与内插同义。

4、与D/C转换器一样，有可能利用x[n]求得一个xi[n]的内插公式。首先注意到，图4.3中低通滤波器的单位脉冲为

式(4.20)

利用式(4.17)可得

式(4.21)

单位脉冲响应hi[n]有如下性质：

式(4.22)

由此对理想低通滤波器就有

式(4.23)

三）、简单而实用的内插滤波器

1、线性内插是指这样的内插过程，即位于两个原始样本之间的样本落在链接两个原始样本值得直线上。根据图4.3所示的系统，线性内插可用下述具有三角型形状的单位脉冲响应的滤波器来完成；

式(4.24)

2、一个用于进行因子为L的内插处理的FIR滤波器，其单位脉冲响应hi[n]通常被设计为具有下列特性

内插后的输出值为

式(4.29)

1）、式(4.25)说明FIR滤波器的长度为2KL-1个样本。进而，这个约束条件可保证在计算每隔样本时只涉及2K个原始样本。

2）、式(4.26)保证滤波器不会对内插样本引入任何相移，因为所对应的频率响应为w的实函数。

3）、式(4.27)和式(4.28)保证了在输出序列中原始信号样本被保留下来，即

式(4.30)

四）、采样率按非整数因子变化

一个序列的采样率按某一整数因子增大或减小。将抽取和内插接合起来，就有可能用某一个非整数因子来变更采样率。具体的，考虑图4.4所示的内插器，

图4.4

它把采样周期从T降到T/L，然后紧跟着一个抽取器，该抽取器又将采样周期提高M倍，所产生的输出序列真正有效的采样周期为TM/L。通过适当地选择L和M，就能够任意的接近任何所要求的的采样周期的比。

1）、如果M>L，那么在采样周期上就有一个净的增加(采样率下降)。

2）、如果M

三、多速率信号处理

1、利用多采样率信号处理可能极大的降低所要求的输出样本计算量。

1）、这些多采样率级数一般指的是利用增采样、减采样、压缩器和扩展器等方式来提高信号处理系统的效率。

2）、除了在采样率转换中应用外，在利用过采样和噪声整形的A/D和D/A系统中也是极为有用的。

3）、另一类用于信号分析和(或)处理的重要信号处理算法是滤波器组，而这些算法叶日益依赖于多采样技术。

一）、滤波与压缩器/扩展器的互换

1、图4.5所示的两个减采样系统是等效的

图4.5

2、图4.6所示的两个增采样系统是等效的

图4.6

二）、多级抽取和内插

1、当抽取或内插较大时，有必要利用脉冲响应非常长的滤波器以达到对所需低通滤波器的充分逼近。在这种情况下，采用多级抽取或内插可以极大降低计算量。

2、图4.7所示是一个两级抽取系统，其中总的抽取率为M=M1M2。

图4.7

1）、与图4.7(a)等效的单级系统可以利用图4.5所示的减采样恒等关系得到。

2）、图4.7(b)给出了将系统H2(z)及其之前的减采样器(M1倍)用后接一个减采样器(M1倍)的系统H2(zM1）代替的结果。

3）、图4.7(c)给出了将级联的线性系统和级联的减采样器合并成对应的单及系统的结果。由此可以看出，等效单及低通滤波器的系统函数为如下乘积：

式(4.31)

这个等式就是二级抽取器整体等效频率响应的一种有用形式，如果M有多个因数，则这个等式可以扩展到级数为任意值得形式。式(4.31)形式的系统函数的滤波器被称为内插FIR滤波器。对应的单位脉冲可看作h1[n]与扩展M1倍的第二个脉冲响应的卷积，即

式(4.32)

2、同样的多级原则也可在内插处理中，两级内插器如图4.8

图4.8

三）、多相分解

1、将一个序列表示为M组子序列的叠加，其中每一组都由该序列中每隔M个依次延迟的序列值座组成，这就得到了一个序列的多相分解。当将这一分解应用到一个滤波器的单位脉冲响应上时，就能导致线性滤波器在几个方面的有效实现结构。具体的说，考虑某一单位脉冲响应h[n]，将其分解为如下M组子序列hk[n]（K=0,1&＃8230;,M-1）：

式（4.33）

将这些子序列依次延迟就能恢复原单位脉冲响应h[n]，即

式(4.34)

这种分解可用图4.9表示。

图4.9

如果在输入端构造一一串超前单元链，而在输出端构造一串延迟单元链，则图4.10就等效于图4.9

图4.10

在图4.9和图4.10的分解中，序列ek[n]为

式(4.35)

一般称其为h[n]的多相分量。

2、图4.9和图4.10都不是这滤波器的实现，但它们表明了如何将这个滤波器分解成M个并联滤波器。注意到，图4.9和图4.10表明了在频域或z变换中的多相表示就对应于将H(z)表示为

式(4.36)

式(4.36)将系统函数H(z)表示为延迟的多相分量滤波器之和。

四）、抽取滤波器的多相实现

1、多相分解的重要应用之一是输出被间采样的滤波器的实现，如图4.11所示

图4.11

图4.11所示系统的最为直接的实现方式是在每个n值处，滤波器计算出一个输出样本，每M各输出样本中仅保留一个。只管上看，或者可以不必计算出那些丢弃的样本，从而得到一种更为高效的实现方式。

2、为了得到一个高效的实现，可以利用该滤波器的多相分解。特别地，假设将h[n]表示为多相形式，其多相分量为

式(4.37)

由式(4.36)，有

式(4.38)

利用这一分解和减采样可与增采样交换的事实，图4.11即可由图4.12表示。

图4.12

再将图4.5中的恒等关系应用于图4.12，就变为图4.13所示的系统

图4.13

五）、内插滤波器的多相实现

1、如果将多相分解用于一个系统，在该系统中增采样位于滤波器的前面，如图4.14所示，那么也能完成一种高效的实现。

图4.14

2、为了更高效地实现图4.14所示的系统，还要利用H(z)的多相分解。可以将H(z)表示为式(4.38)的形式，这样图4.14就能表示为4.15，

图4.15

在利用图4.6所示的恒等关系就能将图4.15重新整理为4.16.

图4.16

六）、多采样率滤波器组

1、在用于音频和语音信号分析及合成的滤波器组中，广泛使用了内插和抽取的多相结构。

2、图4.17就是一个再语音编码应用中经常使用的双信道分析及合成滤波器组的结构框图。

系统的分析部分目的是对输入信号x[n]的频谱进行剖分，一部分划分到减采样后的信号v0[n]所代表的低通频带内，另一部分则划分到v1[n]所代表的的高通频带内。

3、上述双频带分析/合成系统可以推导到任意N个等带宽信道，从而实现对频谱的更优分解。这类系统可以用在一年编码中，它们可以在熟悉信息速率压缩中方便地开发利用人类听觉感知的特征。此外，双频带系统还可以与树形结构接合，以实现一个用于均匀或非均匀信道分布的分析/合成系统。