1. 定义
连续形式&＃xff08;微分&＃xff09;∂&＃xff1a;∂(fx)&＃61;limh→0f(x&＃43;h)−f(x)h
离散形式&＃xff08;差分&＃xff09;Δ&＃xff1a;Δ(fx)&＃61;limh&＃61;1f(x&＃43;h)−f(x)h
2. 理解
从定义出发&＃xff0c;微分&＃xff0c;差分都可以理解为“自变量的单位变化对因变量的影响程度”。
3. 例题
计算下降乘幂的差分形式Δxm−−
4. 分析
下降乘幂的定义为xm−−&＃61;x(x&＃43;1)(x&＃43;2)⋯(x&＃43;m−1),根据下降乘幂的定义&＃xff0c;我们知道下降乘幂和阶乘以及上升乘幂三者之间的关系为m!&＃61;mm−−&＃61;1m¯¯&＃xff0c;这是后话。
5. 解题
根据差分的离散形式的定义&＃xff0c;有&＃xff0c;
Δxm−−&＃61;(x)m−−−(x−1)m−−
Δxm−−&＃61;x(x&＃43;1)(x&＃43;2)⋯(x&＃43;m−1)−(x−1)(x)(x&＃43;1)⋯(x−1&＃43;m−1)
Δxm−−&＃61;(x(x&＃43;1)(x&＃43;2)⋯(x&＃43;m−2))(x&＃43;m−1−(x−1))
Δxm−−&＃61;mxm−1−−−
6. 数学应用
m&＃61;0,Δxm−−&＃61;Δ1&＃61;0
m&＃61;1,Δxm−−&＃61;Δx&＃61;1
m&＃61;2,Δxm−−&＃61;Δx(x−1)&＃61;2x
⋯
7. 其他应用
影子价格 (shadow price) 等&＃xff0c;总之应用非常广泛。
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