蓝色三角_每周一题：蓝色三角形的面积（附上周答案）

本期题目&＃xff1a;蓝色三角形的面积

&＃xff08;题目来源&＃xff1a;http://theguardian.com&＃xff09;

以上有若干正方形&＃xff0c;左下的那个面积为5。问蓝色三角形面积是多少&＃xff1f;

请直接留言作答。

本期加餐题&＃xff1a;整除100的概率

&＃xff08;题目来源&＃xff1a;&＃xff09;

给定任意三个正整数x, y,z&＃xff0c;它们的积&＃xff1a;xyz&＃xff0c;能被100整除的概率是多少&＃xff1f;

请直接留言或发邮件至liyouhua &＃64; http://gmail.com 解答。

上周题目&＃xff1a;双螺旋结构

如图&＃xff0c;纵向10个等距离的点通过半圆弧连接&＃xff0c;构成双螺旋结构。请问&＃xff1a;图中红色和橙色的面积相等吗&＃xff1f;若不等&＃xff0c;相差多少&＃xff1f;

答案&＃xff1a;红色面积比橙色大

。一种简便方法是将上图“变形”一下&＃xff0c;沿中线切开&＃xff0c;并将左半边向下“滑动”一些&＃xff1a;

这样可以看出红色与橙色的形状在每个同心圆中都是对称的&＃xff0c;除了最内部多了一个纯红色圆&＃xff01;

那么红色比橙色多出的面积就是这个直径为4的圆的面积&＃xff0c;所以答案是

。

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上期加餐题&＃xff1a;胡乱组合的信封和信

你有n封信发给n个地址。但你胡乱地把信任意塞进随机一个信封里。最终&＃xff0c;所有信都被放入不正确的信封的概率是多少&＃xff1f;即所有人都收到错误的信的概率是多少&＃xff1f;

答案&＃xff1a;

所有人都收到错误信件的概率为&＃xff1a;

以上式子是不是很眼熟&＃xff1f;对&＃xff0c;它就是

的级数展开式&＃xff0c;所以&＃xff0c;当信封很多时&＃xff0c;这个概率约为

&＃xff0c;真是无所不在的

!

一种解法&＃xff1a;

对信封数N采用归纳法。令

表示N封信的情况下&＃xff0c;所有信放入错误信封的组合数。我们可证明&＃xff1a;

&＃xff0c;证明如下&＃xff1a;

• 当有N个已经全部放错的信封时&＃xff0c;我们可以把第N&＃43;1封信与前面的N封信中的任何一封交换&＃xff0c;这样必可得到N&＃43;1封放错的信。这样我们得到
  种组合。
• 当N个信封中&＃xff0c;恰有一封信装入正确信封是&＃xff0c;我们可以把这封信与第N&＃43;1封信交换&＃xff0c;这样也可以得到N&＃43;1封放错的信。这样我们得到
  种组合。

因此&＃xff0c;我们得到&＃xff1a;

。N封信全部放错的概率是&＃xff1a;

&＃xff0c;因此

。并且&＃xff1a;

为解出以上递推方程&＃xff0c;可将上述方程改写为&＃xff1a;

因为

&＃xff0c;

&＃xff0c;所以

。我们可以推出&＃xff1a;

因此

此题据说是一道历史名题&＃xff0c;欧拉也曾做过。大老李出题后&＃xff0c;意外收到一位群友陈漱文的电子邮件&＃xff0c;他提到其32年前&＃xff08;1988年&＃xff09;&＃xff0c;发表于《中学生数学杂志》上的文章&＃xff1a;

&＃xff01;这位读者经过那么多年还热爱数学&＃xff0c;肃然起敬。

而这道题也让我想到了著名的“应该相亲多少次问题”&＃xff0c;答案也是相亲过你预计人数的37%就应该收心了。这两道题是不是有点异曲同工之妙呢&＃xff1f;

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