Girsanov定理
考虑布朗运动,如果定义新过程
则在由RN导数过程
诱导的测度变换下,
是
下的鞅。
证明思路:
(1)利用Ito引理证明是鞅
(2)证明,从而是一个RN导数过程
(3)证明是鞅
(4)证明是
下的鞅
(5)证明,再由Levy定理证明结论。
可以将之扩展到多维,即,如果有独立布朗运动的变换,其中
,每一个的变换与一维情形一样,则相应的RN过程为
扩散过程下的完备市场
假设市场由个自由度的布朗运动驱动
,市场上有
种可交易资产
,则其扩散微分方程为
坐标变换,定义新的维布朗运动
其中
在为常数时就是线性变换
,这时
为相关,满足
这时我们观测到的市场是
回到开始的模型,我们希望找到风险中性测度,利用Girsanov定理,我们希望定义新的布朗运动
代入后得到
要使得在这个变换得到的测度下为鞅,我们要求
矩阵形式为
如果此方程有解,则存在风险中性测度,如果无解,则市场存在套利。如果存在唯一解,则市场为完备市场。
唯一解条件为且
以二维条件为例,如果我们知道及
,则
还剩下一个自由度可选,这实际上表明我们的独立化方法并不唯一。这并不奇怪,也不是什么大问题。考虑联合标准正态变量,相关系数为
,我们希望找到线性变换,使其成为新的独立的标准正态变量
,有
其中,限制条件为
满足上式的均符合要求。通常可以选择
,从而取
,第三式成为
和第二式联立,立马得到,
,因此
也就是说,回到原来的问题,可以以一个为基准,令
,然后通过限制条件得到一组独立化的
。从而得到矩阵
,解出
,最后求出这个市场的风险中性测度。
考虑如果市场无套利,则鞅测度存在,因此从任意一个未定权益出发
可以构造一个鞅为
由表示定理我们必然有
而财富过程必须满足
然而如前所述我们知道
我们发现只需要取满足方程
如果风险中性测度是唯一的,即
有唯一解,这意味着对应的齐次方程只有零解。从而方程
有至少一个解。于是我们得到
有解,因此是存在的,故而任意一个未定权益
都可以得到对冲。
我们处理得最多的还是的情形,这时
,我们有风险中性定价公式
或者写成
相应的股价服从
考虑比几何布朗运动更General的情形,在和
非随机时其解为
对于是
的函数的情形,我们要计算
只需要求出
在
下的分布即可,为此,定义平均波动率和平均利率为
于是有
从而对Call Option有
直接计算可以得到
其中
因此第一项积分可以表示为
我们令便得到所谓的
方程
当为一个远期时我们立马可以得到
于是利用我们得到期权平价关系
由此立马可以得到put option的价格
这意味着存在上限,故
可以小于Intrinsic Value。
光有价格还不行,我们还需要求出来的是对冲策略。如果
是一个
的,这意味着欧式未定权益的期望可以表示成现值的函数。于是
,这允许我们使用
引理。于是
由于是鞅,我们立马得到
微分方程
另一方面,注意到鞅性,丢弃所有的
项得到
但是我们已经有
比较两式便得到对冲策略
导数与风险参数(Greeks)
在计算导数与风险参数的时候,一些结论是反复用到的
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
我们计算所有的导数:
Delta:
而
因此
一个重要结论为
Gamma:
满足期权的凸性不等式。此外我们可以看到。
对求一阶微分会发现极大值点出现在
即
处。
Vega:
Theta:
因此
故put的Theta不一定为负。
Rho:
这可以从支付函数上直接看出来