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扩散过程与完备市场

Girsanov定理考虑布朗运动,如果定义新过程则在由RN导数过程诱导的测度变换下,是下的鞅。证明思路:(1)

Girsanov定理

考虑布朗运动,如果定义新过程

则在由RN导数过程

    

诱导的测度变换下,下的鞅。

 

证明思路:

(1)利用Ito引理证明是鞅

(2)证明,从而是一个RN导数过程

(3)证明是鞅

(4)证明下的鞅

(5)证明,再由Levy定理证明结论。

 

可以将之扩展到多维,即,如果有独立布朗运动的变换,其中,每一个的变换与一维情形一样,则相应的RN过程为

    

 

扩散过程下的完备市场

 

假设市场由个自由度的布朗运动驱动,市场上有种可交易资产,则其扩散微分方程为

    

坐标变换,定义新的维布朗运动

    

其中

    

为常数时就是线性变换,这时为相关,满足

    

    

这时我们观测到的市场是

    

 

回到开始的模型,我们希望找到风险中性测度,利用Girsanov定理,我们希望定义新的布朗运动

    

代入后得到

    

要使得在这个变换得到的测度下为鞅,我们要求    

    

矩阵形式为

    

如果此方程有解,则存在风险中性测度,如果无解,则市场存在套利。如果存在唯一解,则市场为完备市场。

 

唯一解条件为

    

以二维条件为例,如果我们知道,则

    

    

还剩下一个自由度可选,这实际上表明我们的独立化方法并不唯一。这并不奇怪,也不是什么大问题。考虑联合标准正态变量,相关系数为,我们希望找到线性变换,使其成为新的独立的标准正态变量,有

    

其中,限制条件为

满足上式的均符合要求。通常可以选择,从而取,第三式成为

和第二式联立,立马得到,,因此

也就是说,回到原来的问题,可以以一个为基准,令,然后通过限制条件得到一组独立化的。从而得到矩阵,解出,最后求出这个市场的风险中性测度。

 

考虑如果市场无套利,则鞅测度存在,因此从任意一个未定权益出发可以构造一个鞅为

    

由表示定理我们必然有

    

而财富过程必须满足

    

然而如前所述我们知道

    

我们发现只需要取满足方程

    

如果风险中性测度是唯一的,即

    

有唯一解,这意味着对应的齐次方程只有零解。从而方程有至少一个解。于是我们得到

    

有解,因此是存在的,故而任意一个未定权益都可以得到对冲。

我们处理得最多的还是的情形,这时,我们有风险中性定价公式

    

或者写成

    

相应的股价服从

    

 

考虑比几何布朗运动更General的情形,在非随机时其解为

    

对于的函数的情形,我们要计算只需要求出下的分布即可,为此,定义平均波动率和平均利率为

    

    

于是有

    

从而对Call Option有

    

直接计算可以得到

    

    

其中

因此第一项积分可以表示为

    

我们令便得到所谓的方程

    

为一个远期时我们立马可以得到

    

于是利用我们得到期权平价关系

    

由此立马可以得到put option的价格

 

这意味着存在上限,故可以小于Intrinsic Value。

 

光有价格还不行,我们还需要求出来的是对冲策略。如果是一个的,这意味着欧式未定权益的期望可以表示成现值的函数。于是,这允许我们使用引理。于是

由于是鞅,我们立马得到微分方程

    

另一方面,注意到鞅性,丢弃所有的项得到

    

但是我们已经有

    

 

比较两式便得到对冲策略

 

导数与风险参数(Greeks)

在计算导数与风险参数的时候,一些结论是反复用到的

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

我们计算所有的导数:

Delta:

因此

一个重要结论为

 

Gamma:

满足期权的凸性不等式。此外我们可以看到

求一阶微分会发现极大值点出现在处。

 

Vega:

    

 

Theta:

    

因此

    

故put的Theta不一定为负。

 

Rho:

这可以从支付函数上直接看出来

转:https://www.cnblogs.com/hilbertan/archive/2013/01/05/2845082.html



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jiajian123
这个家伙很懒,什么也没留下!
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