K-means和K-means++的算法原理及sklearn库中参数解释、选择

前言：

　　这篇博文主要介绍k-means聚类算法的基本原理以及它的改进算法k-means的原理及实现步骤，同时文章给出了sklearn机器学习库中对k-means函数的使用解释和参数选择。

K-means介绍：

　　K-means算法是很典型的基于距离的聚类算法，采用距离 作为相似性的评价指标，即认为两个对象的距离越近，其相似度就越大。该算法认为簇是由距离靠近的对象组成的，因此把得到紧凑且独立的簇作为最终目标。
　　k-means算法特点在于：同一聚类的簇内的对象相似度较高；而不同聚类的簇内的对象相似度较小。
　　

算法实现过程：

求聚类中心的另外三种方法：

（1）Minkowski Distance 公式 —— λ 可以随意取值，可以是负数，也可以是正数，或是无穷大。

k-means 优缺点：

K-Means聚类算法的优点主要集中在:
　1.算法快速、简单;
　2.对大数据集有较高的效率并且是可伸缩性的;
　3.时间复杂度近于线性，而且适合挖掘大规模数据集。K-Means聚类算法的时间复杂度是O(n×k×t) ,其中n代表数据集中对象的数量，t代表着算法迭代的次数，k代表着簇的数目　

k-means的缺点：
　　1、在 K-means 算法中 K 是事先给定的，这个 K 值的选定是非常难以估计的。很多时候，事先并不知道给定的数据集应该分成多少个类别才最合适。
　　2、 在 K-means 算法中，首先需要根据初始聚类中心来确定一个初始划分，然后对初始划分进行优化。这个初始聚类中心的选择对聚类结果有较大的影响，一旦初始值选择的不好，可能无法得到有效的聚类结果，这也成为 K-means算法的一个主要问题。
　　3、从 K-means 算法框架可以看出，该算法需要不断地进行样本分类调整，不断地计算调整后的新的聚类中心，因此当数据量非常大时，算法的时间开销是非常大的。所以需要对算法的时间复杂度进行分析、改进，提高算法应用范围。
　　
对于上述的初始聚类中心的选择可以用k-means++来解决：

k-means ++介绍：

k-means++算法选择初始seeds的基本思想就是：初始的聚类中心之间的相互距离要尽可能的远。

算法步骤：
（1）从输入的数据点集合中随机选择一个点作为第一个聚类中心
（2）对于数据集中的每一个点x，计算它与最近聚类中心(指已选择的聚类中心)的距离D(x)
（3）选择一个新的数据点作为新的聚类中心，选择的原则是：D(x)较大的点，被选取作为聚类中心的概率较大
（4）重复2和3直到k个聚类中心被选出来
（5）利用这k个初始的聚类中心来运行标准的k-means算法

　　从上面的算法描述上可以看到，算法的关键是第3步，如何将D(x)反映到点被选择的概率上，一种算法如下：
（1）先从我们的数据库随机挑个随机点当“种子点”
（2）对于每个点，我们都计算其和最近的一个“种子点”的距离D(x)并保存在一个数组里，然后把这些距离加起来得到Sum(D(x))。
（3）然后，再取一个随机值，用权重的方式来取计算下一个“种子点”。这个算法的实现是，先取一个能落在Sum(D(x))中的随机值Random，然后用Random -= D(x)，直到其<=0，此时的点就是下一个“种子点”。
（4）重复2和3直到k个聚类中心被选出来
（5）利用这k个初始的聚类中心来运行标准的k-means算法
可以看到算法的第三步选取新中心的方法，这样就能保证距离D(x)较大的点，会被选出来作为聚类中心了。至于为什么原因比较简单，如下图 所示：

假设A、B、C、D的D(x)如上图所示，当算法取值Sum(D(x))*random时，该值会以较大的概率落入D(x)较大的区间内，所以对应的点会以较大的概率被选中作为新的聚类中心。

sklearn.cluster.KMeans 参数介绍

为什么要介绍sklearn这个库里的kmeans？
　　这个是现在python机器学习最流行的集成库，同时由于要用这个方法，直接去看英文文档既累又浪费时间、效率比较低，所以还不如平时做个笔记、打个基础。
　　这里还有一个原因，上面介绍了k-means++，sklearn.cluster.KMeans这个类对于初始聚类中心的选择刚好默认选择的就是k-means ++。

参数：

n_clusters：整形，缺省值=8 【生成的聚类数，即产生的质心（centroids）数。】
max_iter：整形，缺省值=300
执行一次k-means算法所进行的最大迭代数。
n_init：整形，缺省值=10
用不同的质心初始化值运行算法的次数，最终解是在inertia意义下选出的最优结果。
init：有三个可选值：’k-means++’， ‘random’，或者传递一个ndarray向量。
此参数指定初始化方法，默认值为 ‘k-means++’。
（１）‘k-means++’ 用一种特殊的方法选定初始质心从而能加速迭代过程的收敛（即上文中的k-means++介绍）
（２）‘random’ 随机从训练数据中选取初始质心。
（３）如果传递的是一个ndarray，则应该形如 (n_clusters, n_features) 并给出初始质心。
precompute_distances：三个可选值，‘auto’，True 或者 False。
预计算距离，计算速度更快但占用更多内存。
（１）‘auto’：如果 样本数乘以聚类数大于 12million 的话则不预计算距离。This corresponds to about 100MB overhead per job using double precision.
（２）True：总是预先计算距离。
（３）False：永远不预先计算距离。
tol：float形，默认值= 1e-4　与inertia结合来确定收敛条件。
n_jobs：整形数。　指定计算所用的进程数。内部原理是同时进行n_init指定次数的计算。
（１）若值为 -1，则用所有的CPU进行运算。若值为1，则不进行并行运算，这样的话方便调试。
（２）若值小于-1，则用到的CPU数为(n_cpus + 1 + n_jobs)。因此如果 n_jobs值为-2，则用到的CPU数为总CPU数减1。
random_state：整形或 numpy.RandomState 类型，可选
用于初始化质心的生成器（generator）。如果值为一个整数，则确定一个seed。此参数默认值为numpy的随机数生成器。
copy_x：布尔型，默认值=True
当我们precomputing distances时，将数据中心化会得到更准确的结果。如果把此参数值设为True，则原始数据不会被改变。如果是False，则会直接在原始数据
上做修改并在函数返回值时将其还原。但是在计算过程中由于有对数据均值的加减运算，所以数据返回后，原始数据和计算前可能会有细小差别。

属性：

cluster_centers_：向量，[n_clusters, n_features] (聚类中心的坐标)

Labels_: 每个点的分类
inertia_：float形
每个点到其簇的质心的距离之和。

Notes：
　　这个k-means运用了 Lioyd’s 算法,平均计算复杂度是 O(k*n*T)，其中n是样本量，T是迭代次数。
　　计算复杂读在最坏的情况下为 O(n^(k+2/p))，其中n是样本量，p是特征个数。(D. Arthur and S. Vassilvitskii, ‘How slow is the k-means method?’ SoCG2006）
　　在实践中，k-means算法时非常快的，属于可实践的算法中最快的那一类。但是它的解只是由特定初始值所产生的局部解。所以为了让结果更准确真实，在实践中要用不同的初始值重复几次才可以。

Methods：

fit(X[,y]):
　计算k-means聚类。
fit_predictt(X[,y]):
　计算簇质心并给每个样本预测类别。
fit_transform(X[,y])：
计算簇并 transform X to cluster-distance space。
get_params([deep])：
　取得估计器的参数。
predict(X):predict(X)
　给每个样本估计最接近的簇。
score(X[,y]):
　计算聚类误差
set_params(**params):
　为这个估计器手动设定参数。
transform(X[,y]): 将X转换为群集距离空间。
　在新空间中，每个维度都是到集群中心的距离。 请注意，即使X是稀疏的，转换返回的数组通常也是密集的。

参考文献：

1、http://blog.csdn.net/loadstar_kun/article/details/39450615
2、http://blog.csdn.net/xiaoyi_zhang/article/details/52269242