矩阵标准型的系数是特征值吗_21、二次型、合同关系、惯性指数、标准型、规范型，XTAX...

二次型这一大章准备用两章写完，本章是：二次型（上）。

本章包含了：

二次型概念

标准型、规范型概念和求解方法
二次型转为标准型的三种解法
合同变换、合同矩阵、合同关系
惯性指数和惯性定理
二次型常见的混淆性质

本章参考视频系列：

厦门大学 高等代数课程 第九章 二次型_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili

学习时间，本章全部看完所需最低时间：四个小时

现在开始~

1、二次型的基本构成:两个未知数的相乘，这两个未知数无论相同还是不同都不重要，只要两个就是二次型。

2、二次型的判别:（视频有）

简单举例：

这样是三次了，不是二次；
这样的只有一次，也不是二次。

如这种：

或者是
，显然这两种都是二次型。

而

这样也是二次型，无论加减几项，只要每一项都是二次的，就是二次型。

3、二次型的组成和提取：xT * A * x (其中A为对称阵)，这样的结果代表一个B（详见下文）。一个足够标准的B是我们二次型的理想结果，即是目标化为标准型。B不够标准，就继续使用x=Py，进行变换，注意A矩阵就是x，之后的每一次产生新的“A”都代表x.(具体——详见下文。这里只是小总结。）

4、求二次型f(x1,x2,x3)的对称矩阵A：

（1）

先写主对角线，主对角线的构成元素是方程每一项的系数（只含有相同的项的系数）

除了主对角线的其它元素：

判别每一项是否还有有多个不同的未知数，比如：（注意对应关系）

E12和E21对应的x1x2中，不仅仅只有x2，还有x1，所以有两个不同的未知数，所以，

x1x2的系数3 除以2，得到3/2，填入E12和E21，

同理E13和E31对应的是x1x3，两个不同的未知数，系数为1，即1/2

而E23和E32对应的是x2和x3，但此处没有存在，所以

认为为0，所以E23和E32为0

（2）

方程的第一、第二或三项都没有多个未知数，所以认为为0，

即除了对角线上有具体数字外，其它位置都是0

5、求对称矩阵A的二次型f(x1,x2,x3):

（1）

刚才说了f(x1,x2,x3）是由多项式多个项构成，

而第1、2、3项前面的系数 正是 主对角线上的元素，

所以在（1）中，第1、3项的系数是1和1，而第二项系数是0，

所以列出基本式，可能是：

,

然后，E21、E12是3，所以肯定有两个未知数x1和x2(x几看E下面的数字是几)，

并且这个数字除以2等于3，所以这个数字为6，

同理，“E31，E13”，“E23，E32”也是这种方法，

得出：

,

两者拼起来就是：

（2）（3）

答案为：

6、线性替换：（备注:以下的C在很多的课本和用法中，很多都用P，而这里用C，一样的）