深入解析进制的数学原理与应用

问题描述&＃xff1a;有一个黑匣子&＃xff0c;黑匣子里有一个关于 x 的多项式 p(x) 。我们不知道它有多少项&＃xff0c;但已知所有的系数都是正整数。每一次&＃xff0c;你可以给黑匣子输入一个整数&＃xff0c;黑匣子将返回把这个整数代入多项式后的值。那么&＃xff0c;最少需要多少次&＃xff0c; 我们可以得到这个多项式每项的系数呢&＃xff1f;

答案&＃xff1a;2

解析&＃xff1a;首先带入1&＃xff0c;得到p(1)记为s&＃xff0c;然后将s&＃43;1带入得到p(s&＃43;1)&＃xff0c;p(s&＃43;1)&＃61;a0*(s&＃43;1)^0&＃43;a1*(s&＃43;1)^1&＃43;a2*(s&＃43;1)^2…a(n-1)*(s&＃43;1)^a(n-1)&＃43;an*(s&＃43;1)^n;把得到的p(s&＃43;1)转化为s&＃43;1进制得到的数&＃xff0c;每个位次上的数&＃xff0c;分别代表an,a(n-1),a(n-2)……a1,a0。例如&＃xff1a;(十进制)987&＃61;9*10^2&＃43;8*10^1&＃43;7*10^0&＃xff0c;(二进制)101&＃61;1*2^2&＃43;0*2^1&＃43;1*2^0,(十六进制)B8&＃61;11*16^1&＃43;8*16^0;

本质&＃xff1a;(n进制)987654321&＃61;9*n^8&＃43;8*n^7&＃43;7*n^6&＃43;6*n^5&＃43;5*n^4&＃43;4*n^3&＃43;3*n^2&＃43;2*n^1&＃43;1*n^0.