机器学习算法Python实现

（github地址:https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python

由于公式使用的是LaTex，解析使用的google的Chart API，所以显示有问题，可以移步github）

二、逻辑回归

• 全部代码

1、代价函数

• 
• 可以综合起来为：
  
  其中：
  
• 为什么不用线性回归的代价函数表示，因为线性回归的代价函数可能是非凸的，对于分类问题，使用梯度下降很难得到最小值，上面的代价函数是凸函数
• 的图像如下，即y=1时：
  

可以看出，当趋于1，y=1,与预测值一致，此时付出的代价cost趋于0，若趋于0，y=1,此时的代价cost值非常大，我们最终的目的是最小化代价值
- 同理的图像如下（y=0）：

2、梯度

• 同样对代价函数求偏导：
  
  可以看出与线性回归的偏导数一致
• 推到过程
  

3、正则化

• 目的是为了防止过拟合
• 在代价函数中加上一项，所以最终的代价函数为：
  
• 注意j是重1开始的，因为theta(0)为一个常数项，X中最前面一列会加上1列1，所以乘积还是theta(0),feature没有关系，没有必要正则化
• 正则化后的代价：

# 代价函数
def costFunction(initial_theta,X,y,inital_lambda):
    m = len(y)
    J = 0

    h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta))    # 计算h(z)
    theta1 = initial_theta.copy()           # 因为正则化j=1从1开始，不包含0，所以复制一份，前theta(0)值为0 
    theta1[0] = 0   

    temp = np.dot(np.transpose(theta1),theta1)
    J = (-np.dot(np.transpose(y),np.log(h))-np.dot(np.transpose(1-y),np.log(1-h))+temp*inital_lambda/2)/m   # 正则化的代价方程
    return J

• 正则化后的代价的梯度

# 计算梯度
def gradient(initial_theta,X,y,inital_lambda):
    m = len(y)
    grad = np.zeros((initial_theta.shape[0]))

    h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta))# 计算h(z)
    theta1 = initial_theta.copy()
    theta1[0] = 0

    grad = np.dot(np.transpose(X),h-y)/m+inital_lambda/m*theta1 #正则化的梯度
    return grad  

4、S型函数（即）

• 实现代码：

# S型函数 
def sigmoid(z):
    h = np.zeros((len(z),1))    # 初始化，与z的长度一置

    h = 1.0/(1.0+np.exp(-z))
    return h

5、映射为多项式

• 因为数据的feture可能很少，导致偏差大，所以创造出一些feture结合
• eg:映射为2次方的形式:
• 实现代码：

# 映射为多项式 
def mapFeature(X1,X2):
    degree = 3;                     # 映射的最高次方
    out = np.ones((X1.shape[0],1))  # 映射后的结果数组（取代X）
    '''
 这里以degree=2为例，映射为1,x1,x2,x1^2,x1,x2,x2^2
 '''
    for i in np.arange(1,degree+1): 
        for j in range(i+1):
            temp = X1**(i-j)*(X2**j)    #矩阵直接乘相当于matlab中的点乘.*
            out = np.hstack((out, temp.reshape(-1,1)))
    return out

6、使用scipy的优化方法

• 梯度下降使用scipy中optimize中的fmin_bfgs函数
• 调用scipy中的优化算法fmin_bfgs（拟牛顿法Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno
  
  • costFunction是自己实现的一个求代价的函数，
  • initial_theta表示初始化的值,
  • fprime指定costFunction的梯度
  • args是其余测参数，以元组的形式传入，最后会将最小化costFunction的theta返回

 result = optimize.fmin_bfgs(costFunction, initial_theta, fprime=gradient, args=(X,y,initial_lambda)) 

7、运行结果

• data1决策边界和准确度
  
  
• data2决策边界和准确度
  
  

8、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现

• 导入包

from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.cross_validation import train_test_split
import numpy as np

• 划分训练集和测试集

    # 划分为训练集和测试集
    x_train,x_test,y_train,y_test = train_test_split(X,y,test_size=0.2)

• 归一化

    # 归一化
    scaler = StandardScaler()
    scaler.fit(x_train)
    x_train = scaler.fit_transform(x_train)
    x_test = scaler.fit_transform(x_test)

• 逻辑回归

    #逻辑回归
    model = LogisticRegression()
    model.fit(x_train,y_train)

• 预测

    # 预测
    predict = model.predict(x_test)
    right = sum(predict == y_test)

    predict = np.hstack((predict.reshape(-1,1),y_test.reshape(-1,1)))   # 将预测值和真实值放在一块，好观察
    print predict
    print ('测试集准确率：%f%%'%(right*100.0/predict.shape[0]))          #计算在测试集上的准确度