高数笔记一函数与极限

1、极限运算法则

【定理一】有限个无穷小之和仍是无穷小。

【定理二】有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。

【推论一】常数与无穷小的乘积是无穷小。

【推论二】有限个无穷小的乘积是无穷小。

【定理三】&＃xff08;极限运算的分配律&＃xff09;
若
$$limf(x)\&＃61;A$$

$$limg(x)\&＃61;B$$

则
$$1im[f(x)\&＃43;g(x)])$$
存在&＃xff0c;则
$$lim[f(x)\&＃43;g(x)]\&＃61;A\&＃43;B\&＃61;limf(x)\pm limg(x)$$
【定理四】

若
$$limf(x)\&＃61;A$$

$$limg(x)\&＃61;B$$

且
$$1im[f(x)\ast g(x)])$$
存在&＃xff0c;则
$$lim[f(x)\ast g(x)]\&＃61;A\ast B\&＃61;limf(x)\ast limg(x)$$
【定理五】

若
$$limf(x)\&＃61;A$$

$$limg(x)\&＃61;B$$

B≠0&＃xff0c;且
1imf(x)g(x)1im\frac{f(x)}{g(x)} 1img(x)f(x)​
存在&＃xff0c;则

1imf(x)g(x)&＃61;AB&＃61;limf(x)limg(x)1im\frac{f(x)}{g(x)}&＃61;\frac{A}{B}&＃61;\frac{limf(x)}{limg(x)} 1img(x)f(x)​&＃61;BA​&＃61;limg(x)limf(x)​
对商的极限运算法则&＃xff0c; 应注意条件:

(1)、极限 lim f(x)&＃61;A&＃xff0c;lim g(x)&＃61;B均存在。

(2)、作分母的函数g(x)的极限 lim g(x)&＃61;B≠0。

当这两个条件中有一个不满足时&＃xff0c; 不可使用商的极限运算法则。 这一点在初学时很容易被忽视。

2、两个重要极限

2.1、重要极限一

2.2、重要极限之二

3、无穷小的比较

4、函数的连续性与间断点

5、备注

连续的几何含义是一笔画&＃xff0c;可导的几何含义是光滑