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高等数学中必须掌握的基础知识(一)

1.求导基本公式2.复合函数求导的导数,令,3.函数奇偶性判断1).简单函数:从图像上看,奇函数关于远点对称,偶函数关于

1.求导基本公式

{C}'=0; {x^{n}}'=nx^{n-1}

{x^{n}}'=nx^{n-1}

{\ln|x|}'=\frac{1}{x}

{\log _{a}x}'=\frac{1}{x\ln a}

{sinx}'=cosx

{tanx}'=\frac{1}{cos^{2}x}=sec^{2}x

{cotx}'=-\frac{1}{sin^{2}x}=-csc^{2}x

{\sec x}'=\sec x*\tan x

{\csc x}'=-\csc x*\cot x

{\arcsin }'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}

{\arccos x}'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}

{\arctan x}'=\frac{1}{1+x^{2}}

{\textrm{arccot} x}'=-\frac{1}{1+x^{2}}


2.复合函数求导

{uv}'={u}'v+u{v}'

{(\frac{u}{v})}'=\frac{​{u}'v-u{v}'}{v^{2}}

{f[g(x)]}'的导数,令u=g(x),{f[g(x)]}'={f(u)}'*{u}'


3.函数奇偶性判断

1).简单函数:从图像上看,奇函数关于远点对称,偶函数关于y轴对称;即奇函数满足f(x)=-f(-x);偶函数满足f(x)=f(-x),所以简单函数的奇偶性判断直接计算f(-x)基本就可以判断了;

2).复杂函数:复杂函数可以分解成多个简单函数,然后根据奇偶函数四则运算规律:

奇函数±奇函数=奇函数
偶函数±偶函数=偶函数
奇函数×奇函数=偶函数
偶函数×偶函数=偶函数
偶函数÷奇函数=奇函数

注:以上两点前提是函数的定义域关于0点对称


4.极限

1).常用等价无穷小等价替换

x\rightarrow 0时:

①.x\sim \sin x\sim \sin ^{-1}x\sim \tan x\sim \tan ^{-1}x\sim e^{x}-1 \sim \ln (1+x)

②.x^{2}+x\sim x

③.1-\cos x\sim \frac{1}{2}x^{2}

④.(1+x)^{a}-1\sim ax

⑤.a^{x}-1\sim x\ln a

⑥.\log _{a}(1+x)\sim \frac{x}{\ln a}

⑦.(1+ax)^{\frac{m}{n}}-1\sim \frac{m}{n}ax

⑧.\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\sim x

2).重要极限

\lim_{x\rightarrow \infty }(1+\frac{1}{x})^{x}=e

\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e

\lim_{x\rightarrow \infty }(1-\frac{1}{x})^{x}=\frac{1}{e}

\lim_{x \to 0}(1-x)^{\frac{1}{x}}=\frac{1}{e}

\lim_{x \to \infty } \sqrt[n]{n}=1


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改改我的坏_155
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