第一章（概率论的基本概念）

第一节（样本空间、随机事件）

样本空间：随机试验E的所有基本结果组成的集合，记为\(\Omega\)

必然事件：\(\Omega\)
不可能事件：\(\varnothing\)

事件之间的关系

• \(A\subset B\)：A发生必然导致事件B发生


• \(A\cup B\)：事件A与B至少有一个发生


• \(A\cap B\)：事件A与B同时发生


• \(A-B\)：事件A发生而B不发生（注：\(A-\Omega =\varnothing\)）


• \(A\cap B=\varnothing\)：事件A与B不可能同时发生（互斥）


• \(A\cup B=\Omega\)且\(A\cap B=\varnothing\)：事件A与事件B互为对立事件（互为逆事件）,A的对立事件记为\(\overline{A}\)（显然\(\overline{A}=\Omega -A\)）

事件之间的运算
略，与离散数学类似

第二节（概率、古典概型）
频率：\(f_{n}(A)=\frac{k}{n}\)，\(n\)次试验发生了\(k\)次
频率性质：

• \(0\leqslant f_{n}(A)\leqslant 1\)


• \(f_{n}(\Omega )=1\)


• \(f_{n}(\bigcup_{i=1}^{m}A_{i})=\sum_{i=1}^{m}f_{n}(A_{i})\)

概率的公理化定义
（P(A)为事件A的概率）

• 非负性：\(P(A)\geqslant 0\)


• 规范性：\(P(\Omega )=1\)


• 可数可加性：\(P(\bigcup_{n=1}^{\infty }A_{n})=\sum_{n=1}^{\infty }P(A_{n})\)

概率的性质

• \(P(\varnothing)=0\)


• \(P(\bigcup_{k=1}^{n}A_{k})=\sum_{k=1}^{n}P(A_{k})\)


• \(P(B-A)=P(A)-P(AB)\)


• \(A,B\)为两个事件，若\(A\subset B\),有：\(P(B-A)=P(B)-P(A) P(A)\leqslant P(B)\)


• 任意事件\(A\)有\(P(A)\leqslant 1=P(\Omega)\)


• 任意事件\(A\)有\(P(\overline{A})=1-P(A)\)


• 任意事件\(A,B\)，有：\(P(A_{1}\cup A_{2}\cup ... \cup A_{n})=\sum_{i=1}^{n}P(A_{i})-\sum_{1\leqslant i