浮点数在内存中的存储格式

细节决定成败

转自http://blog.csdn.net/bingxuewujian/article/details/6437657

由一个程序开始

   00111111 1000 00000000 0000 0000 0000

符号部分&＃xff1a;0&＃xff08;粉红背景处&＃xff09;&＃xff1b;

指数部分&＃xff1a;127&＃43;0&＃61;127&＃xff08;黄色背景处&＃xff09; 

底数部分&＃xff1a;0&＃xff08;蓝色背景处&＃xff09;

转换为十进制就是&＃xff1a;106535216

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浮点数包括float和double两种类型&＃xff0c;float占32位&＃xff0c;double占64位。其二进制存储格式遵循IEEE754标准。以float为例&＃xff1a;

      符号位&＃xff1a;正数为0&＃xff0c;负数为1

      以float型数据123.456为例&＃xff0c;分析其二进制存储格式&＃xff1a;

      首先将十进制数123.456转换为二进制数为&＃xff1a;1111011.01110100101111001 

      &＃xff08;其中0.456如何转换为二进制&＃xff1f;不断乘2取整&＃xff0c;顺序排列

      如:0.734375转二进制&＃xff0c;结果是101111。

         0.734375 x 2 &＃61; 1.46875
         0.46875 x 2 &＃61; 0.9375
         0.9375 x 2 &＃61; 1.875
         0.875 x 2 &＃61; 1.75
         0.75 x 2 &＃61; 1.5
         0.5 x 2 &＃61; 1.0&＃xff09; 

1111011.01110100101111001 即1.11101101110100101111001乘以2的6次方

首先这是一个正数&＃xff0c;则符号位为0&＃xff0c;

阶码为6&＃xff0c;不过要转换成移码。

&＃xff08;如何求6的移码&＃xff1f;这里我也不太深究&＃xff0c;我见大家都是直接6&＃43;127&＃61;133&＃xff0c;换为2进制为10000101&＃xff09;

&＃xff08;移码与补码的关系&＃xff1a; [X]移与[X]补的关系是符号位互为相反数&＃xff08;仅符号位不同&＃xff09;&＃xff09;

尾数则为1.11101101110100101111001的小数部分&＃xff0c;即

11101101110100101111001 

综上&＃xff1a;123.456的二进制存储格式为&＃xff1a;01000010111101101110100101111001

-------------------------------------------------以下介绍浮点数的存储------------------------------------------------------

浮点数&＃xff1a;
    浮点型变量在计算机内存中占用4字节&＃xff08;Byte&＃xff09;,即32-bit。遵循IEEE-754格式标准。一个浮点数由2部分组成&＃xff1a;底数m和指数e。

    ±mantissa ×2exponent
&＃xff08;注意&＃xff0c;公式中的mantissa 和 exponent使用二进制表示&＃xff09;
   底数部分 使用&＃xff12;进制数来表示此浮点数的实际值。
   指数部分占用&＃xff18;-bit的二进制数&＃xff0c;可表示数值范围为0&＃xff0d;255。
  指数应可正可负&＃xff0c;所以IEEE规定&＃xff0c;此处算出的次方须减去127才是真正的指数。所以float的指数可从 -126到128
   底数部分实际是占用24-bit的一个值&＃xff0c;由于其最高位始终为1 &＃xff0c;所以最高位省去不存储&＃xff0c;在存储中只有23-bit。
   到目前为止&＃xff0c; 底数部分 23位加上指数部分8位使用了31位。那么前面说过&＃xff0c;float是占用4个字节即32-bit,那么还有一位是干嘛用的呢&＃xff1f;还有一位&＃xff0c;其实就是4字节中的最高位&＃xff0c;用来指示浮点数的正负&＃xff0c;当最高位是1时&＃xff0c;为负数&＃xff0c;最高位是0时&＃xff0c;为正数。

   浮点数据就是按下表的格式存储在4个字节中&＃xff1a;

    Address&＃43;0Address&＃43;1 Address&＃43;2 Address&＃43;3

   Contents SEEEEEEE EMMM MMMM MMMM MMMM MMMMMMMM
   S: 表示浮点数正负&＃xff0c;1为负数&＃xff0c;0为正数
   E: 指数加上127后的值的二进制数
   M: 24-bit的底数&＃xff08;只存储23-bit&＃xff09;

  注意&＃xff1a;这里有个特例&＃xff0c;浮点数为0时&＃xff0c;指数和底数都为0&＃xff0c;但此前的公式不成立。因为2的0次方为1&＃xff0c;所以&＃xff0c;0是个特例。当然&＃xff0c;这个特例也不用认为去干扰&＃xff0c;编译器会自动去识别。

举例1&＃xff1a;计算机存储中的二进制数如何转换成实际浮点数
  通过上面的格式&＃xff0c;我们下面举例看下-12.5在计算机中存储的具体数据&＃xff1a;
   Address&＃43;0 Address&＃43;1 Address&＃43;2Address&＃43;3

   Contents 0xC1 0x48 0x000x00
  接下来我们验证下上面的数据表示的到底是不是-12.5&＃xff0c;从而也看下它的转换过程。

  由于浮点数不是以直接格式存储&＃xff0c;他有几部分组成&＃xff0c;所以要转换浮点数&＃xff0c;首先要把各部分的值分离出来。

   Address&＃43;0 Address&＃43;1 Address&＃43;2Address&＃43;3

   格式 SEEEEEEE EMMMMMMM MMMMMMMMMMMMMMMM

  二进制 11000001 01001000 0000000000000000

   16进制 C1 48 00 00

    可见&＃xff1a;

    S:为1&＃xff0c;是个负数。

    E:为 10000010转为10进制为130&＃xff0c;130-127&＃61;3&＃xff0c;即实际指数部分为3.

    M:为10010000000000000000000。这里&＃xff0c;在底数左边省略存储了一个1&＃xff0c;使用实际底数表示为1.10010000000000000000000

   到此&＃xff0c;我们吧三个部分的值都拎出来了&＃xff0c;现在&＃xff0c;我们通过指数部分E的值来调整底数部分M的值。调整方法为&＃xff1a;如果指数E为负数&＃xff0c;底数的小数点向左移&＃xff0c;如果指数E为正数&＃xff0c;底数的小数点向右移。小数点移动的位数由指数E的绝对值决定。

   这里&＃xff0c;E为正3&＃xff0c;使用向右移3为即得&＃xff1a; 1100.10000000000000000000至次&＃xff0c;这个结果就是12.5的二进制浮点数&＃xff0c;将他换算成10进制数就看到12.5了&＃xff0c;如何转换&＃xff0c;看下面&＃xff1a;

   小数点左边的1100 表示为 (1 × 23) &＃43; (1 ×22) &＃43; (0 × 21) &＃43; (0 × 20), 其结果为 12 。

   小数点右边的 .100… 表示为 (1 × 2-1) &＃43;(0 × 2-2) &＃43; (0 × 2-3) &＃43; ... &＃xff0c;其结果为.5 。

   以上二值的和为12.5&＃xff0c; 由于S为1&＃xff0c;使用为负数&＃xff0c;即-12.5 。

   所以&＃xff0c;16进制 0XC1480000 是浮点数 -12.5。

举例2&＃xff1a;浮点数转换成计算机存储格式中的二进制数。
   举例将 17.625换算成float型。
   首 先&＃xff0c;将17.625换算成二进制位&＃xff1a;10001.101 (0.625 &＃61; 0.5&＃43;0.125, 0.5即 1/2, 0.125即1/8如果不会将小数部分转换成二进制&＃xff0c;请参考其他书籍)
   再将 10001.101 向左移&＃xff0c;直到小数点前只剩一位成了1.0001101 x 2的4次方&＃xff08;因为左移了4位&＃xff09;。此时我们的底数M和指数E就出来了&＃xff1a;

   0 10000011 00011010000000000000000

  转换成16进制&＃xff1a;0x41 8D 00 00

  所以&＃xff0c;一看&＃xff0c;float还是占用了4个字节。

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double在内存中的保存&＃xff0c;double是8个字节64位&＃xff0c;其中最高位63位是符号位&＃xff0c;1表示该数为负&＃xff0c;0正&＃xff1b;62-52位&＃xff0c;一共11位是指数位&＃xff1b;51-0位&＃xff0c;一共52位是尾数位。

举例3&＃xff1a;按照IEEE浮点数表示法&＃xff0c;下面将把double型浮点数38414.4转换为十六进制代码。

把整数部和小数部分开处理:整数部直接化十六进制&＃xff1a;960E。小数的处理:  
 0.4&＃61;0.5*0&＃43;0.25*1&＃43;0.125*1&＃43;0.0625*0&＃43;……  
         实际上这永远算不完&＃xff01;这就是著名的浮点数精度问题。所以直到加上前面的整数部分算够53位就行了&＃xff08;隐藏位技术&＃xff1a;最高位的1  
   
 不写入内存&＃xff09;。  
         如果你够耐心&＃xff0c;手工算到53位那么因该是&＃xff1a;38414.4(10)&＃61;1001011000001110.0110101010101010101010101010101010101(2)  
 科学记数法为&＃xff1a;1.001……乘以2的15次方。指数为15&＃xff01;  
         于是来看阶码&＃xff0c;一共11位&＃xff0c;可以表示范围是-1024  ~  1023。因为指数可以为负&＃xff0c;为了便于计算&＃xff0c;规定都先加上1023&＃xff0c;在这里&＃xff0c;  
   
 15&＃43;1023&＃61;1038。二进制表示为&＃xff1a;100  00001110  
         符号位&＃xff1a;正——  0  &＃xff01;  
         合在一起&＃xff08;尾数二进制最高位的1不要&＃xff09;&＃xff1a;  
  01000000  11100010  11000001  11001101  01010101  01010101  01010101  01010101  

 按字节倒序存储的十六进制数就是&＃xff1a;  
  55  55  55  55  CD  C1  E2   40