二维几何变换矩阵解析

二维平面几何变换概述

在二维平面上，常见的几何变换包括平移、缩放和旋转。为了简化这些变换的表示和计算，数学家们引入了齐次坐标系。齐次坐标系通过增加一个额外的维度，使得所有几何变换都可以用矩阵乘法来表示。

1. 平移变换

在二维平面上，每个点可以用坐标 (x, y) 表示。假设有一点 P(x, y)，它平移到新的位置 P'(x', y')，则平移变换的数学表达式为：
P' = P + ΔP
[x' y'] = [x y] + [Δx Δy]
= [x + Δx y + Δy]

例如，点 (1, 1) 平移到 (2, 3)，需要的平移向量 ΔP 为 [1, 2]。

2. 缩放变换

假设有一点 P(x, y)，它缩放到新的位置 P'(x', y')，则缩放变换的数学表达式为：
P' = SP
[x' y'] = [Sx 0; 0 Sy] [x y]
= [xSx ySy]

其中，S 是缩放矩阵。

3. 旋转变换

二维平面上的旋转变换矩阵如下：
R = [cos(α) sin(α); -sin(α) cos(α)]

假设有一点 P(x, y)，它绕着原点旋转到新的位置 P'(x', y')，则旋转变换的数学表达式为：
P' = RP
[x' y'] = [cos(α) sin(α); -sin(α) cos(α)] [x y]
= [xcos(α) + ysin(α) -xsin(α) + ycos(α)]

4. 齐次坐标系的引入

为了统一表示平移、缩放和旋转变换，引入了齐次坐标系。在齐次坐标系中，每个点用 (x, y, 1) 表示。平移变换的矩阵形式为：
ΔP = [1 0 Δx; 0 1 Δy; 0 0 1]

平移过程的数学表达式为：
P' = ΔP × P
[x' y' 1] = [1 0 Δx; 0 1 Δy; 0 0 1] [x y 1]
= [x + Δx y + Δy 1]

同样地，缩放和旋转变换也可以用齐次坐标系表示。
缩放变换：
S = [Sx 0 0; 0 Sy 0; 0 0 1]
旋转变换：
R = [cos(α) sin(α) 0; -sin(α) cos(α) 0; 0 0 1]

至此，二维平面上的所有几何变换都可以通过矩阵乘法实现。例如，要实现绕着某个点 P(x, y) 旋转，可以分三步完成：

• 将图形平移到原点
• 对图形进行旋转
• 将图形平移回原来的位置

不使用齐次坐标系时，变换过程的数学公式为：
P' = R(P + ΔP) + (-ΔP)
= [cos(α) sin(α); -sin(α) cos(α)] ([x y] + [Δx Δy]) - [Δx Δy]

使用齐次坐标系时，变换过程的数学公式为：
P' = (-ΔP) × R × ΔP × P
= -[1 0 Δx; 0 1 Δy; 0 0 1] [cos(α) sin(α) 0; -sin(α) cos(α) 0; 0 0 1] [1 0 Δx; 0 1 Δy; 0 0 1] [x y 1]

下面是一个Python代码示例，演示如何实现一个正方形绕着中心点旋转45度：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def poly_gen(x0=(10, 10), length=20):
    poly = []
    x, y = x0
    for _ in range(length):
        y += 1
        poly.append(np.array([x, y, 1]))
    x, y = x0
    for _ in range(length):
        x += 1
        poly.append(np.array([x, y, 1]))
    x, y = x0[0] + length, x0[1]
    for _ in range(length):
        y += 1
        poly.append(np.array([x, y, 1]))
    x, y = x0[0], x0[1] + length
    for _ in range(length):
        x += 1
        poly.append(np.array([x, y, 1]))
    center = np.array([x0[0] + length / 2, x0[1] + length / 2])
    return poly, center
def translation(poly, dx, dy):
    T = np.array([[1, 0, dx],
                  [0, 1, dy],
                  [0, 0, 1]])
    poly_trans = [np.dot(T, x) for x in poly]
    return poly_trans
def rotation(poly, theta):
    R = np.array([[np.cos(theta), np.sin(theta), 0],
                  [-np.sin(theta), np.cos(theta), 0],
                  [0, 0, 1]])
    poly_rotation = [np.dot(R, x) for x in poly]
    return poly_rotation
if __name__ == '__main__':
    fig1 = plt.figure()
    poly, center = poly_gen()
    for x in poly:
        plt.scatter(x[0], x[1])
    plt.xlim(0, 50)
    plt.ylim(0, 50)
    fig2 = plt.figure()
    poly_trans = translation(poly, -center[0], -center[1])
    poly_rotation = rotation(poly_trans, np.pi / 4)
    poly_trans = translation(poly_rotation, center[0], center[1])
    for x in poly_trans:
        plt.scatter(x[0], x[1])
    plt.xlim(0, 50)
    plt.ylim(0, 50)
    plt.show()

其运行的结果如下：