深入理解二进制乘法及位运算技巧

在探讨二进制乘法之前，有必要先了解几个基本的位运算概念及其应用。

(1) 基础等式：-n = ~(n-1) + 1。这里，波浪线（~）表示按位取反操作。

(2) 提取整数n的二进制表示中的最低有效位1的方法有两种：n & ~(n-1) 或者 n & (-n)。例如，当n=010100时，-n=101100，因此n & (-n)=000100，这表示了n的二进制形式中最右边的1的位置。

(3) 清除整数n的二进制表示中的最低有效位1：n & (n-1)。如n=010100, n-1=010011，则n & (n-1)=010000，此操作有效地清除了最右侧的1。

这些操作不仅适用于正数，同样适用于负数。

考虑一个具体的例子：1011 * 1010。根据二进制乘法的特点，可以将其分解为两个部分：1011 * 0010 和 1011 * 1000 的和。在二进制运算中，向左移动一位相当于乘以2（即0010），而向左移动三位则相当于乘以8（即1000）。因此，这两个乘积分别为10110和1011000，它们的和即为最终结果1101110。

由此可见，通过位移和加法操作，我们可以高效地实现二进制乘法。为了快速确定需要左移的位数，可以预先构建一个映射表来存储每个可能的位值与其对应的位移量。下面是一个使用C++实现的示例代码：

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