二次函数和几何的综合

一、阅读材料&＃xff0c;解答问题。

材料&＃xff1a;“小聪设计的一个电子游戏是&＃xff1a;一电子跳蚤从这P1(&＃xff0d;3&＃xff0c;9)开始&＃xff0c;按点的横坐标依次增加1的规律&＃xff0c;在抛物线上向右跳动&＃xff0c;得到点P2、P3、P4、P5……(如图12所示)。过P1、P2、P3分别作P1H1、P2H2、P3H3垂直于x轴&＃xff0c;垂足为H1、H2、H3&＃xff0c;则

即△P1P2P3的面积为1。”

问题&＃xff1a;

⑴求四边形P1P2P3P4和P2P3P4P5的面积(要求&＃xff1a;写出其中一个四边形面积的求解过程&＃xff0c;另一个直接写出答案)&＃xff1b;

⑵猜想四边形Pn&＃xff0d;1PnPn&＃43;1Pn&＃43;2的面积&＃xff0c;并说明理由(利用图13)

⑶若将抛物线改为抛物线&＃xff0c;其它条件不变&＃xff0c;猜想四边形Pn&＃xff0d;1PnPn&＃43;1Pn&＃43;2的面积(直接写出答案)&＃xff08;2004大连&＃xff09;

二、已知A1、A2、A3是抛物线上的三点&＃xff0c;A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于x轴&＃xff0c;垂足为B1、B2、B3&＃xff0c;直线A2B2交线段A1A3于点C。

&＃xff08;1&＃xff09; 如图11&＃xff0d;1&＃xff0c;若A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3&＃xff0c;求线段CA2的长。

&＃xff08;2&＃xff09;如图11&＃xff0d;2&＃xff0c;若将抛物线改为抛物线&＃xff0c;A1、A2、A3三点的横坐标为连续

整数&＃xff0c;其他条件不变&＃xff0c;求线段CA2的长。

&＃xff08;3&＃xff09;若将抛物线改为抛物线&＃xff0c;A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数&＃xff0c;其他条件不变&＃xff0c;请猜想线段CA2的长&＃xff08;用a、b、c表示&＃xff0c;并直接写出答案&＃xff09;。&＃xff08;2005大连&＃xff09;

三、如图15&＃xff0c;点P(&＃xff0d;m&＃xff0c;m2)抛物线&＃xff1a;y &＃61; x2上一点&＃xff0c;将抛物线E沿x轴正方向平移2m个单位得到抛物线F&＃xff0c;抛物线F的顶点为B&＃xff0c;抛物线F交抛物线E于点A&＃xff0c;点C是x轴上点B左侧一动点&＃xff0c;点D是射线AB上一点&＃xff0c;且∠ACD &＃61; ∠POM&＃xff0e;问△ACD能否为等腰三角形&＃xff1f;

若能&＃xff0c;求点C的坐标&＃xff1b;若不能&＃xff0c;请说明理由&＃xff0e;

说明&＃xff1a;⑴如果你反复探索&＃xff0c;没有解决问题&＃xff0c;请写出探索过程(要求至少写3步)&＃xff1b;⑵在你完成⑴之后&＃xff0c;可以从①、②中选取一个条件&＃xff0c;完成解答(选取①得7分&＃xff1b;选取②得10分)&＃xff0e;

①m &＃61; 1&＃xff1b;②m &＃61; 2&＃xff0e;

附加题&＃xff1a;如图16&＃xff0c;若将26题“点C是x轴上点B左侧一动点”改为“点C是直线y &＃61;&＃xff0d;m2上点N左侧一动点”&＃xff0c;其他条件不变&＃xff0c;探究26题中的问题&＃xff0e;&＃xff08;2006大连&＃xff09;

四、如图&＃xff0c;直线AB交x轴于点A(2&＃xff0c;0)&＃xff0c;交抛物线y&＃xff1d;ax2于点B(1&＃xff0c;)&＃xff0c;点C到△OAB各顶点的距离相等&＃xff0c;直线AC交y轴于点D。当x&＃xff1e;0时&＃xff0c;在直线OC和抛物线y&＃xff1d;ax2上是否分别存在点P和点Q&＃xff0c;使四边形DOPQ为特殊的梯形&＃xff1f;若存在&＃xff0c;求点P、Q的坐标&＃xff1b;若不存在&＃xff0c;说明理由。

附加题&＃xff1a;在26题中&＃xff0c;抛物线的解析式和点D的坐标不变(如图)。当x&＃xff1e;0时&＃xff0c;在直线y&＃xff1d;kx(0&＃xff1c;k&＃xff1c;1)和这条抛物线上&＃xff0c;是否分别存在点P和点Q&＃xff0c;使四边形DOPQ为以OD为底的等腰梯形。若存在&＃xff0c;求点P、Q的坐标&＃xff1b;若不存在&＃xff0c;说明理由。(2007大连&＃xff09;

五、如图24&＃xff0d;1&＃xff0c;抛物线的顶点为P&＃xff0c;A、B是抛物线上两点&＃xff0c;AB∥x轴&＃xff0c;四边形ABCD为矩形&＃xff0c;CD边经过点P&＃xff0c;AB &＃61; 2AD&＃xff0e;

⑴求矩形ABCD的面积&＃xff1b;

⑵如图24&＃xff0d;2&＃xff0c;若将抛物线“”&＃xff0c;改为抛物线“”&＃xff0c;其他条件不变&＃xff0c;请猜想矩形ABCD的面积&＃xff1b;

⑶若将抛物线“”改为抛物线“”&＃xff0c;其他条件不变&＃xff0c;请猜想矩形ABCD的面积(用a、b、c表示&＃xff0c;并直接写出答案)&＃xff0e;

附加题&＃xff1a;若将24题中“”改为“”&＃xff0c;“AB &＃61; 2AD”条件不要&＃xff0c;其他条件不变&＃xff0c;探索矩形ABCD面积为常数时&＃xff0c;矩形ABCD需要满足什么条件&＃xff1f;并说明理由&＃xff0e;&＃xff08;2008大连模拟&＃xff09;

六、如图18&＃xff0c;抛物线F&＃xff1a;的顶点为P&＃xff0c;抛物线&＃xff1a;与y轴交于点A&＃xff0c;与直线OP交于点B&＃xff0e;过点P作PD⊥x轴于点D&＃xff0c;平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′&＃xff1a;&＃xff0c;抛物线F′与x轴的另一个交点为C&＃xff0e;

⑴当a &＃61; 1&＃xff0c;b&＃61;&＃xff0d;2&＃xff0c;c &＃61; 3时&＃xff0c;求点C的坐标(直接写出答案)&＃xff1b;

⑵若a、b、c满足了

①求b&＃xff1a;b′的值&＃xff1b;

②探究四边形OABC的形状&＃xff0c;并说明理由&＃xff0e;&＃xff08;2009大连&＃xff09;

七、如图17&＃xff0c;抛物线F&＃xff1a;与轴相交于点C&＃xff0c;直线经过点C且平行于轴&＃xff0c;将向上平移t个单位得到直线&＃xff0c;设与抛物线F的交点为C、D&＃xff0c;与抛物线F的交点为A、B&＃xff0c;连接AC、BC

&＃xff08;1&＃xff09;当&＃xff0c;&＃xff0c;&＃xff0c;时&＃xff0c;探究△ABC的形状&＃xff0c;并说明理由&＃xff1b;

&＃xff08;2&＃xff09;若△ABC为直角三角形&＃xff0c;求t的值&＃xff08;用含a的式子表示&＃xff09;&＃xff1b;

&＃xff08;3&＃xff09;在&＃xff08;2&＃xff09;的条件下&＃xff0c;若点A关于轴的对称点A’恰好在抛物线F的对称轴上&＃xff0c;连接A’C&＃xff0c;BD&＃xff0c;求四边形A’CDB的面积&＃xff08;用含a的式子表示&＃xff09;&＃xff08;2010大连&＃xff09;

已知二次函数y&＃xff1d;x2&＃xff0b;2x&＃xff0b;m的图象C1与x轴有且只有一个公共点.

   &＃xff08;1&＃xff09;求C1的顶点坐标&＃xff1b;

   &＃xff08;2&＃xff09;将C1向下平移若干个单位后&＃xff0c;得抛物线C2&＃xff0c;如果C2与x轴的一个交点为A&＃xff08;—3&＃xff0c;0&＃xff09;&＃xff0c;求C2的函数关系式&＃xff0c;并求C2与x轴的另一个交点坐标&＃xff1b;

   &＃xff08;3&＃xff09;若P(n&＃xff0c;y1)&＃xff0c;Q(2&＃xff0c;y2)是C1上的两点&＃xff0c;且y1&＃xff1e;y2&＃xff0c;求实数n的取值范围.

如图&＃xff0c;抛物线交轴于A、B两点&＃xff08;A点在B点左侧&＃xff09;&＃xff0c;交轴于点C&＃xff0c;已知B&＃xff08;8&＃xff0c;0&＃xff09;&＃xff0c;&＃xff0c;△ABC的面积为8.

&＃xff08;1&＃xff09;求抛物线的解析式&＃xff1b;

&＃xff08;2&＃xff09;若动直线EF&＃xff08;EF∥轴&＃xff09;从点C开始&＃xff0c;以每秒1个长度单位的速度沿轴负方向平移&＃xff0c;且交轴、线段BC于E、F两点&＃xff0c;动点P同时从点B出发&＃xff0c;在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O运动。连结FP&＃xff0c;设运动时间秒。当为何值时&＃xff0c;的值最大&＃xff0c;并求出最大值&＃xff1b;

&＃xff08;3&＃xff09;在满足&＃xff08;2&＃xff09;的条件下&＃xff0c;是否存在的值&＃xff0c;使以P、B、F为顶点的三角形与△ABC相似。若存在&＃xff0c;试求出的值&＃xff1b;若不存在&＃xff0c;请说明理由。