Dirichlet卷积

定义：

定义两个数论函数\(f\)、\(g\)  的 Dirichlet 卷积为：

\[\left ( f*g\right )\left ( n\right )=\sum_{d|n}f\left ( d\right )g\left ( \frac{n}{d}\right )\]

性质：

Dirichlet卷积满足交换律，结合律，分配律

\[\left ( f*g\right )*h=f*\left ( g*h\right )\]

\[f*g=g*h\]

\[\left ( f+g\right )*h=f*h+g*h\]

其中\(\varepsilon \) 是Dirichlet卷积的单位元（任何函数卷\(\varepsilon \) 都是其本身）

\[\varepsilon = \mu *1\Leftrightarrow \varepsilon \left ( n\right )=\sum_{d|n}\mu \left ( d\right )\]

\[d=1*1\Leftrightarrow d\left ( n\right )=\sum_{d|n}1\]

\[\sigma =d*1\Leftrightarrow \sigma \left ( n\right )=\sum_{d|n}d\]

\[\varphi =\mu *ID\Leftrightarrow \varphi \left ( n\right )=\sum_{d|n}d\cdot \mu \left ( \frac{n}{d}\right )\]