代数余子式之和怎么算_代数Artin(一):矩阵

———————————————完更撒花~ (6/6)————————————————

[参考文献] Michael Artin：代数（第二版）

这章复习一些必要的矩阵知识：

1 基本运算

[矩阵]

矩阵是按 m 行 n 列矩形排列的
个数。每个数称为矩阵元素
，i 是行标，j 是列标。
矩阵叫做方阵。

[行向量，列向量]

矩阵（n维行向量），
矩阵（m维列向量）。

[矩阵加法]

[标量乘法]

[矩阵乘法]

[矩阵运算的性质] 分配律，结合律。不满足交换律，若

，则矩阵
和
称为
可交换的。

[零矩阵，对角矩阵，单位矩阵]

• 零矩阵——所有元素都为０。
• 对角矩阵——只有对角元素 。
• 单位矩阵（恒等矩阵）——对角元素均是1的方阵。

[矩阵的逆] 若有矩阵

，使得
，
，则称
为
的逆，记作
。

[可逆矩阵] A有逆时，称A为可逆矩阵。

• 逆是唯一的，如果 既有左逆 又有右逆 （ ），那么 。（因为 ）

[分块乘法] 分块后，块和原来的元素类似，乘法规则相同。

[矩阵单位] 矩阵单位

, 是
的矩阵，在
位置元素为1，其余位置元素为0。

• 列向量 ，仅在第 个位置为1，其余为0。
• 每个 矩阵都是矩阵单位 的线性组合。
• ；若 ，
• ；若 ，

2 行约简

为了求解线性方程组，对矩阵进行
行变换，以及由此而来的一些讨论。

[行变换] 左乘一个可逆矩阵。

[初等行变换] 用到3种初等矩阵

，左乘矩阵
产生的效果分别是：

• 用 乘以 的的第 行，再加到第 行上去。
• 互换 的第 行和第 行。
• 的第 行乘以非零标量 。

初等矩阵是可逆矩阵，它们的逆矩阵也是初等矩阵。

[行约简] 对矩阵

实施初等行变换，将其化为更简单的矩阵
。

[解线性方程组

]
约简增广矩阵
。

[行阶梯矩阵] 任意矩阵M 都可以通过一系列行变换，变成最简行阶梯矩阵：

• 如果第 行是零，则所有 的行也是零。
• 如果第 行不是零，则它的第一个非零元为1，称为主元。
• 如果第 行不是零，则第 行的主元在第 行的主元的右边。
• 主元上面的元素皆为零。（主元下面的元也都为零）

增广矩阵[A|B] 化为最简行阶梯矩阵 [A'|B'] 举例

这个最简阶梯矩阵要怎么使用呢？可以把第

列的主元和第
个未知数
对应起来。

• 首先，方程组有解的充要条件是，最后一列 没有主元。（如果有的话，那一行的方程就是 0=1，无解）
• 然后，如果第 列没有主元，则未知数 可以取任意值。指定了这些任意值之后，就唯一确定了其他未知数。

如果未知数的数量

主元的数量
，那么就有
个未知数可以取任意值。

因此，如果未知数的数量

方程的数量
，那么齐次线性方程组
一定有非零解。（零解
，每个未知数都取0）

[可逆方阵]

• 一个阶梯方阵要么是单位矩阵I，要么底行为零。
• 如果A是方阵，那么以下条件等价：

1. A可由一系列行变换，化简成单位矩阵
2. A是初等矩阵的乘积
3. A可逆

• 求逆矩阵的方法：约简 ，使左边 化成 ，右边 就变成 。
• 是方阵，如果它有左逆或右逆，那么 可逆。

关于方阵方程组，以下条件对于方阵A等价：

1. A可逆
2. 对于任意列向量 ，方程组 有唯一解。
3. 齐次线性方程组 只有平凡解

其中

表明，如果齐次线性方程组只有零解，那么对应的任意非齐次线性方程组都有唯一解。

3 矩阵的转置

行列互换。

[转置] 矩阵的转置就是把行列互换，一个

矩阵的

的转置是一个
的矩阵
，由矩阵
按照对角线反射得到。

[运算法则]

根据第一个公式，初等列变换就是初等矩阵

右乘矩阵
。

4 行列式

每个
方阵
都有一个数与之对应，称为行列式，记作
。
几何解释：2 x 2 矩阵的行列式是单位映像的面积，3 x 3 矩阵的行列式是单位映像的体积。

[定义] 全体

实矩阵构成一个
维向量空间，记作
. 我们将
矩阵的行列式视作此空间到实数的函数：

[递归定义] 行列式可以用关于子式展开来计算，例如按第一列对子式展开：

[唯一性] 在

矩阵空间中存在
唯一的函数

，且具有如下性质，即矩阵的行列式具有如下性质：

1. 对恒等矩阵 ， .
2. 函数 对矩阵 的各行是线性的.
3. 若矩阵 的两个相邻行相等，则 .

第2条的意思是：若矩阵
的第
行满足
，则
。

[乘法性质]

，
,
是
矩阵。

[加法性质] 令

是满足以上性质的
矩阵
的行列式函数，则

1. 如果将矩阵 的第 行的倍数加到第 行上，得到矩阵 ，则 .
2. 如果将矩阵 的第 行互换，得到矩阵 ，则 .
3. 如果将矩阵 的第 行乘以标量 ，得到矩阵 ，则 . 如果 的某一行全是零，则 .
4. 如果矩阵 的第 行等于第 行的倍数，且 ，则 .

第1条的证明：
. 其他的证明可以以此类推。

[推论1] 令

是初等矩阵，则对于任意矩阵
，
，而且

• ，当 是第一类初等矩阵（将一行的倍数加到另一行）。
• ，当 是第二类初等矩阵（两行互换）。
• ，当 是第三类初等矩阵（某行乘 ）。

[推论2] （逆，转置）

1. 方阵 可逆，当且仅当 .
2. （若 可逆）.
3. .
4. 如果把行换成列，上述性质 [唯一性] 和 [乘法性质] 仍成立.

第1条的证明： 若方阵
可逆，则它是初等矩阵的乘积：
，所以
，而
，所以
. 若方阵
不可逆，则
约简后最后一行为零，也就是存在
使得
最后一行为零，因此
，
.

5 置换

[置换] 一个集合

的置换是一个
到
的双射
:

例如
，3经过置换映射成4，4置换成1，1置换成3。

• 例子中的置换形成了一个循环，记为 ，这是一个 3-循环。而两个指标形成的 2-循环，例如 ，叫做 对换。
• 一个置换 如果有多个循环，就把循环写在一起，例如 .

[积置换] 指置换的复合， 记为

—— 先执行
再执行
。

[置换矩阵] 任何置换

都有一个置换矩阵
。置换一个向量
中的元素，就是用置换
的矩阵左乘
.

例如：
，完成了置换
.

[公式] 用矩阵单位

写出置换矩阵 (为了下标紧凑，将
写成
).

.

为了将等式右边表示为列向量，需要把重新编号，使下标变成正序

，也就是要将下标逆置换回来，令
且
，则

.

[命题]

1. 一个置换矩阵 的每一行和每一列只有一个 ，其余全为0，反过来，这样的矩阵是一个置换矩阵。
2. 置换矩阵的行列式为 .
3. 令 是两个置换，相应的置换矩阵为 ，则置换 的相应矩阵是矩阵 的积矩阵。

第3条的证明：
.

[置换的符号] 置换

的行列式，称为置换
的符号：
.

[奇置换，偶置换] 符号为

的是偶置换，符号为
的是奇置换。

每个置换有多种方式写成

个对换的乘积， 对于偶置换，
永远是偶数，对于奇置换，
永远是奇数。

6 行列式的其他公式

[子式] 从矩阵

中删除第
行和第
列后得到的矩阵，记为
.

可以用子式按列或按行展开来计算行列式。

[按第

列展开]
.

[按第

行展开]

.

[完全展开] 先按第一行展开，然后按第二行展开，以此类推。

对

矩阵做完全展开得到行列式的
完全展开式：

.

[余子式矩阵] 一个

矩阵
的余子式矩阵仍是
矩阵
.

.

[计算逆矩阵] 令

是
矩阵，
是其余子式矩阵，令
.

• 如果 ，则 是可逆矩阵，且 .
• 无论 是否可逆，总有 .

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