定义:f(x)为定义在区间[a,b]上的函数,x0,x1,...,xn为[a,b]上n+1个互不相同的点,Φ为给定的某一函数类。若Φ上有函数ψ(x)满足:
ψ(xi)=f(xi),i=0,1,...,n
则称ψ(x)为f(x)关于节点x0,x1,...,xn在Φ上的插值函数。
x0,x1,...,xn为插值节点,{xi,f(xi)}为插值型值点(插值点),f(x)为插值函数
可以对插值函数选择不同的函数类型
1、拉格朗日插值:选择多项式为插值函数
n次拉格朗日插值多项式如下
用多项式表示关于插值点的插值多项式,则得到
最终拉格朗日插值多项式为
其中
称为关于节点的拉格朗日基函数
表示拉格朗日插值多项式的算法描述如下
输入(xi,yi),i=0,1,...,n
double fx=0;
for(i=0;i<=n;i++) {
temp=1;
for(j=0;j<=n && j!+i;j++)
temp=temp*((x-xj)/(xi-xj));
fx=fx+temp*yi;
}
优点:格式整齐规范
缺点:1、计算量大
2、没有承袭性,当加入插值节点时不得不重新计算