离散型随机变量的典型分布：超几何、几何、二项及泊松分布

超几何分布：

超几何分布描述的是从有限总体中无放回抽样的情况。假设一个容器中有N个球，其中m个是白球，N-m个是黑球。从中随机抽取n个球（不放回），设X为取出的白球数，则X服从参数为(n, m, N)的超几何分布。

其概率质量函数为：

X的期望可以通过组合公式进行计算，具体如下：

几何分布：

几何分布在独立重复试验中应用广泛，每次试验成功的概率为p。我们关注的是首次成功所需的试验次数n及其对应的概率。其概率质量函数为：

验证其作为分布列的性质：

几何分布的期望可通过定义式推导得出，设q = 1-p：

二项分布：

二项分布基于伯努利试验，即每次试验只有两种可能结果（成功或失败）。设在n次独立重复试验中，每次试验成功的概率为p，随机变量X表示成功的次数，则X服从参数为(n, p)的二项分布。

其概率质量函数为：

关于二项分布的期望和方差，可以通过组合公式和递推关系求得：

当k = (n+1)p时，P{X=k}达到最大值。

负二项分布：

负二项分布可以看作是几何分布的推广，描述了在n次独立重复试验中恰好成功r次的概率。设随机变量X表示第r次成功发生在第n次试验中的次数，则X服从参数为(r, p)的负二项分布。

其概率质量函数为：

通过巴拿赫火柴问题举例说明负二项分布的应用。假设一个数学家随身携带两盒火柴，每盒有N根火柴，他每次随机从其中一个盒子取一根火柴。当他第一次发现一个盒子空了时，另一个盒子恰好有k根火柴的概率为：

最终结果需要将该概率平方。

负二项分布的期望E[X]可以通过建立递推关系得到：

泊松分布：

泊松分布是二项分布的极限形式，当n趋近于无穷大且np=λ保持常数时，二项分布可近似为泊松分布。其概率质量函数为：

泊松分布的期望和方差均为λ：

推导过程中使用了泰勒级数展开，具体内容详见《托马斯大学微积分》专栏。