ABC221GJumpingsequence题解

题面

题意简述：

给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(D，\)对于每一个 \(i\) 可以选择向一个方向走长度为 \(D_i\)，问是否能走到 \((A,B)\)。

\(\texttt{Data Range:} 1\le n\le 2000,1\le D_i\le 1800,|A|,|B|\le 3.6\times 10^6\)。

首先把曼哈顿距离转化为切比雪夫距离 \((A,B)\rightarrow(A+B,A-B)\)。这样我们就将 \(x\)，\(y\) 两维独立了。

对于操作，可以转化成如下形式：

• up：\((0,d)\rightarrow(-d,d)\)；


• down：\((0,-d)\rightarrow(d,-d)\)；


• left：\((-d,0)\rightarrow(-d,-d)\)；


• right：\((d,0)\rightarrow(d,d)\)。

因此，问题就转化成：

给定 \(n\) 个正整数 \(D_i\)，确定一组 \(\{C_i\}\) 使得 \(\sum C_i\times D_i=s\)，其中 \(C_i\in\{1,-1\}\)。

假设 \(C_i=1\) 的数的和为 \(a\)，\(C_i=-1\) 的数的和为 \(b\)，所有数的和为 \(sum\)，那么就有：

先把 \(sum-s\) 为奇数的情况判掉，然后跑一遍 bitset 优化 01 背包即可。

代码：

#include
#define DC int T = gi (); while (T--)
#define DEBUG fprintf(stderr, "Passing [%s] line %d\n", __FUNCTION__, __LINE__)
#define File(x) freopen(x".in","r",stdin); freopen(x".out","w",stdout)
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define mp make_pair
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair PII;
typedef pair PLL;
template
inline T gi()
{
T x = 0, f = 1; char c = getchar();
while (c <'0' || c > '9') {if (c == '-') f = -1; c = getchar();}
while (c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
return f * x;
}
const int N = 2003, M = N <<1;
int n, a, b;
int d[N];
int sum;
bitset <3600003> f[N];
bool ans[N][2];
int main()
{
//freopen(".in", "r", stdin); freopen(".out", "w", stdout);
n = gi (), a = gi (), b = gi ();
f[0][0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i+=1)
d[i] = gi (), sum += d[i], f[i] = f[i - 1] | (f[i - 1] < int x = a + b, y = a - b;
if (x <-sum || x > sum || y <-sum || y > sum || ((sum - x) & 1) || ((sum - y) & 1)) return puts("No"), 0;
x = sum - x, y = sum - y;
x >>= 1, y >>= 1;
if (!f[n][x] || !f[n][y]) return puts("No"), 0;
int tmpx = x, tmpy = y;
for (int i = n; i >= 1; i-=1)
{
if (tmpx >= d[i] && f[i - 1][tmpx - d[i]]) ans[i][0] = false, tmpx -= d[i];
else ans[i][0] = true;
if (tmpy >= d[i] && f[i - 1][tmpy - d[i]]) ans[i][1] = false, tmpy -= d[i];
else ans[i][1] = true;
}
puts("Yes");
for (int i = 1; i <= n; i+=1)
if (ans[i][0])
{
if (ans[i][1]) cout <<'R';
else cout <<'U';
}
else
{
if (ans[i][1]) cout <<'D';
else cout <<'L';
}
return !!0;
}


启发：

• 看到曼哈顿距离，马上考虑转成切比雪夫距离，这样可以将两维问题独立。


• 要有一定的推式子能力。