极大似然估计（MLE）及其3D可视化解析

在统计学中，极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）是一种常用的参数估计方法。它通过最大化似然函数来找到最有可能产生观测数据的模型参数。

概率密度函数

概率密度函数（Probability Density Function, PDF）用于描述连续随机变量在某一特定值附近的相对可能性。具体来说，PDF并不直接给出某个点的概率，而是表示该点附近单位区间内的概率密度。例如，考虑一个正态分布：

其中，是均值，是标准差。正态分布的特点是在均值处概率密度最高，且以均值为中心呈对称分布。标准差控制着分布的宽度：标准差越大，分布越扁平；标准差越小，分布越集中于均值。

极大似然估计

MEL通过最大化似然函数来估计参数。假设我们有一组观测数据 x_1, x_2, ..., x_n，并且我们知道这些数据来自于某个已知形式但参数未知的分布。我们的目标是找到最有可能生成这组数据的参数值。

对于独立同分布的数据，似然函数可以表示为：

为了简化计算，通常取对数似然函数：

3D可视化

通过3D可视化，我们可以更直观地理解MLE的工作原理。以下是一个简单的Python代码示例，用于绘制不同参数下的似然函数图：

draw_likelihood([2.5], mu=0, sigma=2)