1.7商群

在群中&＃xff0c;我们定义子集合的运算&＃xff1a;

设 $A,B$ 是群 $G$ 的两个子集合。定义&＃xff1a;
$$AB\&＃61;\{ab|a\in A,b\in B\}$$
即由 $A$ 中元素和 $B$ 中元素相乘所得的集合。子集乘积满足结合律&＃xff1a;$(AB)C\&＃61;A(BC)$.

显见:若 $A$ 为一子群&＃xff0c;$B\&＃61;\{b\}$&＃xff0c;则 $AB$ 是子群 $A$ 的一个右陪集。

对于任意子集合 $A$&＃xff0c;定义&＃xff1a;
A−1&＃61;{a−1∣a∈A}A^{-1} &＃61; \{ a^{-1} | a\in A \}A−1&＃61;{a−1∣a∈A}
即由 $A$ 中元素的逆元素组成的集合。

注&＃xff1a;利用集合运算&＃xff0c;我们可将定理1.4.1改写为&＃xff1a;

群 $G$ 中非空子集合 $H$ 为一子群的充要条件是&＃xff1a;HH−1⊂H.HH^{-1} \subset H.HH−1⊂H.

对于正规子群&＃xff0c;我们有如下重要事实&＃xff1a;

定理1.7.1

设 $H$ 为群 $G$ 的一个子群&＃xff0c;$H$ 是正规子群的充要条件是&＃xff1a;任意两个左&＃xff08;右&＃xff09;陪集之积仍为一个左&＃xff08;右&＃xff09;陪集。

证明

“$\Rightarrow$”

设 $H$ 为一正规子群&＃xff0c;$Ha\&＃xff0c;Hb$ 是两个右陪集。则&＃xff1a;
$$(Ha)(Hb)\&＃61;H(aH)b\&＃61;H(Ha)b\&＃61;Hab.$$

“$\Leftarrow$”

设 $Ha\&＃xff0c;Hb$ 是任意两个右陪集。由条件 $(Ha)(Hb)\&＃61;Hc.$ 显然 $ab\in (Ha)(Hb)$&＃xff0c;即 $ab\in Hc$. 固有
$$(Ha)(Hb)\&＃61;Hc\&＃61;Hab$$
两边用 b−1b^{-1}b−1 右乘得&＃xff1a;
$$HaH\&＃61;Ha.$$
因为 $e\in H$&＃xff0c;所以$aH\in HaH$&＃xff0c;即&＃xff1a;
$$aH\in Ha$$
或
aHa−1⊂HaH,对所有的a∈G.aHa^{-1} \subset HaH,对所有的a\in G.aHa−1⊂HaH,对所有的a∈G.
将 $a$ 换为 a−1a^{-1}a−1&＃xff0c;则有
a−1Ha⊂Ha^{-1}Ha \subset Ha−1Ha⊂H
从而
aHa−1&＃61;H&＃xff0c;对所有的a∈G.aHa^{-1} &＃61; H&＃xff0c;对所有的a \in G.aHa−1&＃61;H&＃xff0c;对所有的a∈G.
这证明了 $H$ 为正规子群。$■$

令 $G/H$ 代表正规子群 $H$ 的全部不同的右陪集所组成的集合。

定义1.7.1&＃xff08;商群&＃xff09;

$G/H$ 在陪集的乘法下所成的群称为 $G$ 对正规子群 $H$ 的 商群&＃xff0c;仍记为 $G/H$。

对于正规子群&＃xff0c;左陪集也就是右陪集&＃xff0c;故 $G/H$ 亦可以看作是左陪集所组成的群。

定义1.7.2&＃xff08;自然同态&＃xff09;

设 $H◃G$ 。定义
$$\phi (a)\&＃61;Ha,$$
显然有
$$\phi (ab)\&＃61;Hab\&＃61;HaHb\&＃61;\phi (a)\phi (b).$$
因此&＃xff0c; $\phi$ 是 $G$ 到 $G/H$ 的一个同态&＃xff0c;而且是映上的。称其为群 $G$ 到其商群的自然同态。

下面的定理进一步叙述了同态和正规子群的关系&＃xff1a;

定理1.7.2&＃xff08;群同态基本定理&＃xff09;

设 σ:G→G′\sigma: G\rightarrow G&＃39;σ:G→G′ 是一满同态 &＃xff0c; $N$ 是$\sigma$ 的核&＃xff0c;则 $G/N$ 和 G′G&＃39;G′ 同构。

证明

设 $\phi :G\to G/N$ 是一自然同态。这样&＃xff0c;有两个满同态&＃xff1a;$\sigma$ 和 $\phi$. 要找一个同构 ψ:G/N→G′.\psi:G/N \rightarrow G&＃39;.ψ:G/N→G′.

定义
$$\psi (Na)\&＃61;\sigma (a),$$
因为 $\sigma$ 是一满同态&＃xff0c;即 σ(G)&＃61;G′\sigma(G) &＃61; G&＃39;σ(G)&＃61;G′&＃xff0c;所以由前面的分析表明&＃xff0c; $\psi$ 是 $G/N$ 到 $G‘$ 的一个一一对应。且有&＃xff1a;
$$\psi (NaNb)\&＃61;\psi (Nab)\&＃61;\sigma (ab)\&＃61;\sigma (a)\sigma (b)\&＃61;\psi (Na)\psi (Nb).$$
故证得&＃xff1a;ψ:G/N→G′\psi: G/N \rightarrow G&＃39;ψ:G/N→G′ 是一同构&＃xff0c;原命题证毕。$■$