007KalmanFilters

其实就是Matlab教学视频的理解

视频地址
https://www.mathworks.com/videos/series/understanding-kalman-filters.html
知乎大神的解释
https://zhuanlan.zhihu.com/p/129370341
https://zhuanlan.zhihu.com/p/129694693
wiki
https://en.wikipedia.org/wiki/Kalman_filter

你碰到一个人&＃xff0c;给你的帅气打十分&＃xff0c;你自己给自己打八分&＃xff0c;那你实际有多帅呢&＃xff1f;你不断地碰到更多的人&＃xff0c;怎么用这些数据估计自己最真实客观的颜值呢&＃xff1f;Kalman Filters可以神奇地帮你去除那些噪声

简介

在统计和控制理论中&＃xff0c;卡尔曼滤波&＃xff08;也称为线性二次估计&＃xff08;LQE&＃xff09;&＃xff09;是一种算法&＃xff0c;该算法使用随时间推移观察到的一系列测量值&＃xff08;包含统计噪声和其他误差&＃xff09;&＃xff0c;并生成未知变量的估计&＃xff0c;而这些估计往往会通过估计每个时间范围内变量的联合概率分布&＃xff0c;比仅基于单个测量的结果更准确

通俗解释

1 房间温度

你在一个房间&＃xff0c;可以通过温度计和自己的感觉获得两个温度&＃xff08;包含噪声&＃xff09;&＃xff0c;然后根据这两个温度你给出一个实际温度的猜测温度&＃xff0c;随着时间的推移&＃xff0c;你不断地重复这个操作&＃xff0c;你怎么让猜测的温度更接近实际温度&＃xff0c;更可靠准确。直接取两个温度的平均值吗&＃xff1f;

2 火箭尾焰温度

火箭的尾焰温度很高&＃xff0c;不能直接测量&＃xff0c;需要把传感器放在紧靠尾焰&＃xff0c;温度较低的外部。

通过一个温度传导公式&＃xff0c;你可以通过外部温度获得尾焰温度&＃xff0c;你也可以根据以前加入的所有燃料&＃xff0c;通过火箭模型&＃xff0c;计算出外部温度&＃xff0c;尾焰温度&＃xff0c;燃料在不断地添加的过程中&＃xff0c;你怎么通过测量获得估计和火箭模型获得的估计&＃xff0c;估计真实的尾焰温度。注意这是一个过程&＃xff0c;你在不断地给出估计值&＃xff0c;你要做的是&＃xff0c;让你的估计不要偏离实际温度&＃xff0c;并且尽可能越来越接近真实值&＃xff0c;即使被外星人攻击了&＃xff0c;短暂地偏离了&＃xff0c;也能快速地拉回来

3 自动驾驶

你很缺钱&＃xff0c;参加一个自动驾驶比赛&＃xff0c;比赛规定每辆车跑1km&＃xff0c;测试100次&＃xff0c;谁的车停的离终点线最近&＃xff0c;谁就赢得100万。要想赢&＃xff0c;这一百次你的平均距离要接近1km&＃xff08;均值接近1km&＃xff09;&＃xff0c;并且每次都尽可能接近1km&＃xff08;方差小&＃xff09;。

你很牛&＃xff0c;知道了每个加速减速的操作以后&＃xff0c;车子不用跑&＃xff0c;用一个模型就计算出了每个时间的位置&＃xff0c;速度&＃xff0c;你还能通过GPS实时获取车子的位置&＃xff0c;然后你有了两个位置&＃xff0c;怎么通过这两个位置估计车子实际跑时候的位置&＃xff0c;并且使得这个估计越来越准&＃xff1f;

为什么这个问题可以有解

虽然测量估计和实际环境都有噪声&＃xff0c;但这个噪声一般来说都是服从高斯分布或者其他分布的。测量估计和模型估计的可信度可以通过大量实验增加其可靠度&＃xff0c;即使你刚开始的猜测不靠谱&＃xff0c;这个算法也可以像梯度下降那样&＃xff0c;让你很快变得可靠

State Estimator&＃xff08;状态估计器&＃xff09;

火箭尾焰温度的估计可以用下图的状态估计器描述。T^in\hat{T}_{in}T^in​、T^ext\hat{T}_{ext}T^ext​是模型预测的内部温度。通过K将模型预测值T^ext\hat{T}_{ext}T^ext​和测量值Text{T}_{ext}Text​联系起来&＃xff0c;将他们的差反馈给模型&＃xff0c;用于改进预测可靠度。

• $x$&＃xff1a;当前状态&＃xff08;k时刻实际内部温度&＃xff09;
• $y$&＃xff1a;测量状态&＃xff08;k时刻测量外部温度&＃xff09;
• $u$&＃xff1a;控制向量&＃xff08;k时刻添加燃料量&＃xff09;
• $A$&＃xff1a;状态转移模型&＃xff08;k时刻状态转向k&＃43;1时刻&＃xff09;
• $B$&＃xff1a;输入控制模型&＃xff08;输入对状态转移的作用&＃xff09;
• $C$&＃xff1a;观测模型&＃xff08;真实值转向观察值&＃xff09;
• $K$&＃xff1a;Kalman 增益
• x˙\dot{x}x˙&＃xff1a;当前状态的一阶导数&＃xff0c;也就是当前状态的变化趋势&＃xff0c;有时这里会是$x(k\&＃43;1)$&＃xff0c;也就是下一状态&＃xff0c;其实都是一样的
• 戴帽子的其他变量都是模型预测值
• eobs{e}_{obs}eobs​&＃xff1a;预测的误差&＃xff0c;我们希望它越小越好。

从下图可以看出&＃xff0c;通过调节$A-KC$我们可以让我的估计误差以指数性质逼近实际值

没有$K$其实也可以&＃xff0c;但是有了$K$可以更方便调节&＃xff0c;也更快

Kalman Filters

自动驾驶的例子也是相似的&＃xff0c;只不过多了两个噪声wkw_kwk​、vkv_kvk​&＃xff0c;他们满足正态分布。从概率分布来看&＃xff0c;通过将预测值x^k\hat{x}_kx^k​和观察值yky_kyk​的概率分布相乘&＃xff0c;我们可以得到一个更可靠的预测值x^k\hat{x}_kx^k​

从State observer到Kalman filter&＃xff0c;Kalman filter其实就是一种State observer。

• x^k−\hat{x}^-_kx^k−​&＃xff1a;模型预测值的预测值
• x^k\hat{x}_kx^k​&＃xff1a;同时考虑测量值和模型预测值的预测值
  
  
  Kalman filter是处理一种动态的过程&＃xff0c;也就是不断有新的观测值和测量值&＃xff0c;要不断地更新预测值&＃xff0c;不断地靠近真实值&＃xff0c;如何更新呢
• Pk{P}_kPk​&＃xff1a;模型预测值x^k\hat{x}_kx^k​的variance(变动)
• $Q$、$R$&＃xff1a;白噪声的方差&＃xff0c;也是一种变动
  
  更新过程&＃xff1a;
• 知道了$A$、$B$、$Q$、u1{u}_1u1​、P0{P}_0P0​&＃xff08;初始值&＃xff09;、x^0−\hat{x}^-_0x^0−​&＃xff08;初始值&＃xff09;&＃xff0c;可以得到x^1−\hat{x}^-_1x^1−​、P1−{P}^-_1P1−​
• 知道了$C$、$R$、计算得到的P1−{P}^-_1P1−​&＃xff0c;算出K1{K}_1K1​、P1{P}_1P1​&＃xff0c;根据你的测量值y1{y}_1y1​&＃xff0c;计算同时考虑了模型前预测值、测量的后预测值
• 周而复始

视频介绍了两种极端情况便于理解。

$R$&＃61;0&＃xff0c;这说明测量时&＃xff0c;内部温度到外部温度的转移模型非常好&＃xff0c;基本没有噪声&＃xff0c;那测量值的可信度就非常高

Pk−{P}^-_kPk−​&＃61;0&＃xff0c;这说明数学模型很好&＃xff0c;预测出来的变化很小&＃xff0c;预测的可信度很高

这些公式怎么推导的&＃xff1f;数学不好&＃xff0c;请自行搜索

EKF、UKF、PF

KF是针对线性系统的&＃xff0c;对于非线性系统&＃xff0c;又出现了一些扩展