(转)从零实现3D图像引擎：(11)苍井空做客讲解3D变换矩阵的推导

1. 数学分析

上一篇中间在做旋转的时候我直接用了旋转变换矩阵，当时觉得很尴尬，因为之前没说过是怎么产生的该矩阵。

1) 矩阵和向量的微妙关系

如果您还记得向量加法的几何意义，那么不难看懂下面的等式：

      [x]    [x]     [0]    [0]          [1]          [0]          [0]

v = [y] = [0] + [y] + [0] = x * [0] + y * [1] + z * [0]

      [z]    [0]     [0]    [z]          [0]          [0]          [1]

我们可以看到一个向量或者说是一个点，可以表示为该向量的各分量与某坐标轴单位向量的乘积之和。

我们设p,q,r分别代表这三个单位向量，则可以转化为这种形式：

v = xp + yq + zr

现在我们把p,q,r一般化，令p = [px py pz], q = [qx qy qz], r = [rx ry rz]，我们把它们组成一个矩阵

       [ px py pz ]

M = [ qx qy qz ]

       [ rx  ry  rz ]

然后用向量[x y z]乘以该矩阵，得

[x y z] × M = [(x*px +y*qx + z*rx)  (x*py + y*qy + z*ry)  (x*pz + y*qz + z*rz)] = xp + yq + zr

呵呵，看到M的作用了吗，他把向量[x y z]执行了一次矩阵变换，变成了v。这就是变换矩阵的来源。那他可以做什么呢？下面就是重点了。

我们用坐标轴的单位向量(我们管他叫基向量)来分别乘以M：

[1 0 0] × M = p

[0 1 0] × M = q

[0 0 1] × M = r

哈哈，这个性质太重要了：对于一个坐标轴(上面的[1 0 0] [0 1 0] [0 0 1]都是某个坐标轴的单位向量)，我们可以使用一个向量来变换他。比如对于X轴，我们只要给出一个变换向量p，就可以把X轴按p向量进行变换。而且我们可以同时给出p,q,r，同时对X,Y,Z三个轴进行变换。

下面的图非常形象的表示了我们现在可以如何利用这个性质：

我们可以把图中的绿色、红色箭头看作是坐标轴的单位向量，分别对应X轴[1 0]和Y轴[0 1]，那么我们对他们进行变换会发生什么？

比如，我们把X轴从向量[1 0]变换到[2 1]，把Y轴从[0 1]变换到[-1 2]，那么效果如下图：

进行了这个变换，我们发现，空姐的照片不仅被放大了一些，而且还绕Z轴旋转了一些。这就是刚才我们构建的矩阵

M = [ 2  1 ] 的作用

       [-1  2 ]

现在弄清楚变换矩阵和向量的关系了吧，我们可以构建矩阵M，用M的第一行来变换物体坐标系的X轴向量，用M的第二行来变换物体坐标系的Y轴向量，用M的第三行来变换物体的Z轴向量，就好象控制3ds max的操作柄一样。现在我们可以来推导旋转矩阵了。

2) 3D旋转变换矩阵的推导。

我们首先还用一个俯视图来推导，我们顺着Z轴俯视下来，现在让物体绕Z轴旋转，那么物体的X轴控制柄向量和Y轴控制柄向量应该如何变换呢？看图：

因为是绕Z轴旋转，那么X轴和Y轴都应该旋转同一个角度，设为theta。那么对于X轴单位向量(1,0)，则旋转theta后，坐标变为 cos(theta), sin(theta)。Y轴单位向量(0,1)在旋转theta后，坐标变为-sin(theta),cos(theta)。那么我们开始整理矩阵：

对于X控制柄，变换向量为：[cos(theta)  sin(theta)  0]

对于Y控制柄，变换向量为：[-sin(theta)  cos(theta)  0]

对于Z控制柄，变换向量为: [        0                0         1]  (因为Z控制柄没有变化，扔为Z轴单位向量)

好了，我们已经求得了某点绕Z轴旋转的变换矩阵了：

M =

[ cos(theta)   sin(theta)   0 ]

[ -sin(theta)   cos(theta)  0 ]

[        0                  0         1 ]

2. 代码实现

根据上面的推导，我们可以同理推出绕X,Y轴的变换矩阵，下面的函数是实现一个综合旋转，可以获得让一个点，绕X,Y,Z同时转的变换矩阵：

void _CPPYIN_3DLib::BuildRotateMatrix(double anglex_du, double angley_du, double anglez_du, MATRIX4X4_PTR m) // 创建同时绕X,Y,Z旋转不同度数的变换矩阵
{
	// 初始化针对绕X,Y,Z轴旋转的3个变换矩阵，将他们都复制为单位矩阵，如果绕某轴不旋转，则单位矩阵不会影响结果
	MATRIX4X4 mx, my, mz;
	memcpy((void *)(&mx), (void *)&MATRIXI_4X4, sizeof(MATRIX4X4));
	memcpy((void *)(&my), (void *)&MATRIXI_4X4, sizeof(MATRIX4X4));
	memcpy((void *)(&mz), (void *)&MATRIXI_4X4, sizeof(MATRIX4X4));

	double sin_theta, cos_theta; // 缓存计算结果，减少CPU开销

	if (anglex_du > EPSILON)
	{
		cos_theta = FastCos(anglex_du);
		sin_theta = FastSin(anglex_du);

		MatrixCreate(&mx, 
						1,    0,         0,         0,
                        0,    cos_theta, sin_theta, 0,
                        0,   -sin_theta, cos_theta, 0,
                        0,    0,         0,         1);
	}

	if (angley_du > EPSILON)
	{
		cos_theta = FastCos(angley_du);
		sin_theta = FastSin(angley_du);

		MatrixCreate(&my,
						cos_theta, 0,  -sin_theta,  0,  
						0,         1,  0,           0,
						sin_theta, 0,  cos_theta,   0,
						0,         0,  0,           1);
	}

	if (anglez_du > EPSILON)
	{
		cos_theta = FastCos(anglez_du);
		sin_theta = FastSin(anglez_du);

		MatrixCreate(&mz,
						cos_theta,  sin_theta,  0,  0,  
						-sin_theta, cos_theta,  0,  0,
                        0,          0,          1,  0,
                        0,          0,          0,  1);
	}

	// 变换矩阵相乘，获得最终变换矩阵
	MATRIX4X4 mtemp;
	MatrixMul(&mx, &my, &mtemp);
	MatrixMul(&mtemp, &mz, m);
}

使用这个函数，对上篇文章的某些函数做了简化，不用每次都手写这些矩阵了，这次的DEMO对上次的金字塔同时执行X和Z轴的变换。

请注意我修改了世界变换与旋转物体的顺序，并且保存旋转后的点的存储位置也不一样了哦。

截图：

3. 代码下载

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4. 补充内容

其实这次只说了旋转矩阵的推导，但通过这个过程，我们知道了向量和矩阵之间的微妙关系，对于其他变换，如：缩放、投影、镜像、切变也都可以利用这种关系来推导出来，这里就不多费口舌了。

一个比较特殊的情况是平移。如果您仔细看了文章就会发现，对X,Y,Z三个坐标轴进行变换并不能达到使物体平移的目的，这也就是为什么要用4D向量来表示和变换了，具体这第4维怎么用，有空我们再研究研究4D齐次坐标的原理吧，有兴趣的朋友可以发链接分享哦。

对于本次来客串的空姐，纯属增加趣味，所有的肖像权、发行权、出版权全归您所有，如果您认为权利被侵犯了，我会立刻更换图片~~

转自:http://blog.csdn.net/cppyin/archive/2011/02/18/6193076.aspx