[置顶]k近邻法（K-NN）

K近邻法（k-NN）是一种基本的分类和回归方法。

1 K近邻法——分类

已知：训练数据集，数据集中的每一个实例由一个特征向量表示，并且显示的给出了该

实例所属的类别。

输入：一个新实例的特征向量，参数k的数值。

输出：输入实例所属的类别。

设训练集

T = {  (x1,y1) , (x2,y2),...,(xN,yN)  } 

  其中，N为训练样本个数，i = 1,2,...,N， xi为表示第i个训练样本的特征向量，yi为其对

应的类别（类别的个数与样本个数没有直接联系）。

根据给定的距离度量（如欧式距离），在训练T中找出与输入实例x距离最近的k各点，

将这k个点的集合记为Nk(x)。直观来看Nk(x)对输入实例x属于哪个类别是最有发言权的，

这也是k近邻法简单却没放弃准确度的原因。

分析Nk(x)，利用分类决策方法（如多数表决法）决定x属于哪个类别。

                  其中I为指示函数，当yi= cj是I为1，否则为0。

该式的含义为在Nk(x)中，哪种类别占的最多则输入实例属于哪一类，这是最简单的分类

决策方法，也可将Nk(x)中每个实例赋予一定的权值进行分类决策，这种方法对于一些类

别容量差别较大的情况效果较好。

1.1 距离度量

特征空间两个实例点的距离表示了他们的相似程度。K近邻法中使用的是欧式距离，同

样可以使用其他距离。

设k近邻法中实例特征向量为一个n维实数向量，记为，其中

上标(m) 表示向量第m维的数值。

则一般距离Lp定义为：

当p=2时就是我们常用的欧式距离。

1.2 k值的选择

k值的选择会对k近邻法的结果产生重大的影响，若选择较小的k值，学习的近似误差会

减小( 因为k值越小则选出的实例整体越接近输入实例 )；但学习的估计误差会增大( 这

种情况下容错性比较小，若近邻的实例恰巧是噪声则预测往往会出错)。此种情况模型

比较复杂容易发生过拟合。

若选择较大的k值，则学习的近似误差会增大，学习的估计误差会减少。此时模型比较

简单（举个极端的例子，当k为无穷大时所有的新输入实例都在同一类，此时模型最简单）。

1.2.1 k值与模型的复杂度

k值越小模型越复杂。 假设训练集中含有6个训练实例，并且在特征空间中按下图分布。 其中A,B,C,D,E,F是六个正方形，每个正方形正中心有一个训练实例（不用管实例属于哪 个类别），当k = 1即最近邻法，整个特征空间被划分为一些子空间使的相同子空间内的 实例属于同一类，子空间分别为ABCDEF共六个；当k = 4时，子空间个数为两个，以直 线L划分；当 k = 6时，子空间个数为1。一般情况下虽然不同的k值，并没有使得k近邻法 在计算机中运算的时间复杂度有所变化，但它却影响着k近邻法模型的复杂度，上述子空 间的划分就是它的一个表现，此时模型复杂度 (k = 1)>(k = 4)>(k = 6)。

1.3 分类决策规则

k近邻法中的分类决策规则往往是多数表决，即输入实例的k个近邻的训练实例中的多数 类决定输入实例的类别。多数表决规则的解释：如果分类的损失函数为0-1损失函数， 分类函数为： f：x ——>{c1,c2,...,ch} 其中x为实例的特征向量，c1,c2,...,ch为h个类别。 对给定的实例x，其最近邻的k个训练实例构成的集合Nk(x)，如果覆盖Nk(x)的区域的类别 是cj，则误分类率是：

要使误分类率最小即经验风险最小，就要使所以多数表决规则等价于

经验风险最小化。

2  K近邻法——回归

KNN算法不仅可以用于分类，还可以用于回归。通过找出一个样本的k个最近邻居，

将这些邻居的属性的平均值赋给该样本，就可以得到该样本的属性。更有用的方法

是将不同距离的邻居对该样本产生的影响给予不同的权值(weight)，如权值与距离成正比。

参考文献：统计学习方法(李航)

ps：最近接触的机器学习领域，敬请广大读者随时不吝批评指正，感谢。