matlab两条曲线方程求交点_高考数学圆锥曲线变幻莫测，关于张角问题，知道三个结论就可以搞定...

(1)在x轴上是否存在点Q&＃xff0c;使得∠PQM&＃43;∠PQN&＃xff1d;180°

(2)在x轴上是否存在一点B使得∠ABM&＃xff1d;∠ABN&＃xff1b;

(3)在x轴上是否存在定点Q&＃xff0c;使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称&＃xff1b;

(4)在x轴上是否存在一点T&＃xff0c;使得点B关于x轴的对称点落在直线TC上。

看似毫无相关的问法&＃xff0c;实际上是同一个问题&＃xff0c;不妨拿出手里的纸和笔画出以上几个图形&＃xff0c;通过几何语言对其进行适当的转化&＃xff0c;我们能发现他们都是同一个问题。(如果条件不允许&＃xff0c;手中没有纸和笔&＃xff0c;那等读完全文后再去体验也不迟&＃xff01;)我们把这个问题称为“张角问题”。

世界就像“太极”中描述的那样&＃xff0c;有阴必有阳&＃xff0c;有神奇的问法&＃xff0c;必有神奇的结论。关于本文的张角问题&＃xff0c;自然会牵扯进一批结论&＃xff0c;它们可以解决一大类关于“角平分线”的问题。今天分享三个张角问题的结论&＃xff0c;并配有大量相应模拟练习题&＃xff0c;助您秒题愉快&＃xff01;

椭圆准线与长轴的交点&＃xff0c;对于相应焦点及焦点弦的两个端点&＃xff0c;所形成的张角相等。

如图&＃xff1a;∠AGF&＃61;∠BGF

双曲线准线与实轴的交点&＃xff0c;对于相应焦点及焦点弦的两个端点&＃xff0c;所形成的张角相等。

如图&＃xff1a;∠AGF&＃61;∠BGF

抛物线准线与对称轴的交点&＃xff0c;对于其焦点及焦点弦的两个端点&＃xff0c;所形成的张角相等。

如图&＃xff1a;∠AGF&＃61;∠BGF

该结论实际上是焦点弦结论的一般情况。即我们不要求弦非过焦点不可&＃xff0c;只需过x轴上某一定点&＃xff0c;那么必有相应的点去形成张角相等。

1. 过椭圆任意定点N(t&＃xff0c;0)的弦AB&＃xff0c;则必有点G(a^2/t&＃xff0c;0)&＃xff0c;且G对点N&＃xff0c;A&＃xff0c;B所形成的张角相等。
2. 过双曲线任意定点N(t&＃xff0c;0)的弦AB&＃xff0c;则必有点G(a^2/t&＃xff0c;0)&＃xff0c;且G对点N&＃xff0c;A&＃xff0c;B所形成的张角相等。
3. 过抛物线任意定点N(t&＃xff0c;0)的弦AB&＃xff0c;则必有点G(-t&＃xff0c;0)&＃xff0c;且G对点N&＃xff0c;A&＃xff0c;B所形成的张角相等。

由于这三个图形状态与焦点弦的状态类似&＃xff0c;我们只用椭圆的情况加以示范(∠AGN&＃61;∠BGN)&＃xff0c;对于双曲线和抛物线的情况&＃xff0c;请仿照上述定理&＃xff01;

【实战演练】

已知椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2&＃xff0c;且F2也是抛物线E&＃xff1a;y^2&＃xff1d;4x的焦点&＃xff0c;P为椭圆C与抛物线E在第一象限的交点&＃xff0c;且|PF2|&＃61;5/3&＃xff0e;

(1)求椭圆C的方程&＃xff1b;

(2)若直线y&＃xff1d;k(x&＃xfe63;1)与椭圆C交于R&＃xff0c;S两点&＃xff0c;问是否在x轴上存在一点T&＃xff0c;使得当k变动时&＃xff0c;总有∠OTS&＃xff1d;∠OTR&＃xff1f;说明理由&＃xff0e;

【分析】

(1)根据抛物线的性质和定义求出椭圆c的值和点P的坐标&＃xff0c;然后再代入椭圆方程&＃xff0c;可解得椭圆方程&＃xff1b;

(2)直线y&＃xff1d;k(x&＃xfe63;1)过点(1,0)&＃xff0c;正是椭圆的右焦点&＃xff0c;故根据结论&＃xff0c;可以轻松得到定点T的坐标应该是右准线与x轴的交点&＃xff0c;点T的坐标是(4,0),解答过程还是要按部就班&＃xff0c;下面给出详细过程&＃xff0c;方便参考。

【详解】

【变式练习1】

在平面直角坐标系xOy中&＃xff0c;椭圆C的焦距等于短轴长&＃xff0c;抛物线E&＃xff1a;x^2&＃xff1d;8y的焦点是椭圆C的一个顶点&＃xff0e;

(1)求椭圆C的方程&＃xff1b;

(2)若过点Q(1&＃xff0c;0)的直线l与椭圆C交于A&＃xff0c;B两点&＃xff0c;问是否在x轴上存在一点T&＃xff0c;使得∠ATQ&＃xff1d;∠BTQ&＃xff1f;若存在&＃xff0c;求出点T的坐标&＃xff0c;若不存在&＃xff0c;说明理由&＃xff0e;

【分析】

(1)由题意得关于a&＃xff0c;b&＃xff0c;c的方程组&＃xff0c;求解得到a&＃xff0c;b的值&＃xff0c;则椭圆方程可求&＃xff1b;

(2)此题的点Q不是椭圆的焦点&＃xff0c;但是由第二组结论我们依然知道定点T的坐标&＃xff0c;若Q(t&＃xff0c;0)&＃xff0c;则T(a^2/t&＃xff0c;0)&＃xff0c;根据结论答案瞬间求出&＃xff01;注意解题过程的严密性&＃xff0c;如果用点斜式设直线方程&＃xff0c;要考虑直线l的斜率存在与不存在两种情况&＃xff01;

【详解】

【变式练习2】

已知焦点在y轴上的椭圆C&＃xff0c;右短轴的端点为A&＃xff0c;上焦点为F&＃xff0c;△ABF为等腰直角三角形&＃xff0c;且M(1,0)为线段OA的中点.

(1)求椭圆C的方程&＃xff1b;

(2)过点M任作一条直线与椭圆C相交于两点P&＃xff0c;Q&＃xff0c;试问在x轴上是否存在定点N&＃xff0c;使得∠PNM&＃xff1d;∠QNM?若存在&＃xff0c;求出点N的坐标&＃xff1b;若不存在&＃xff0c;说明理由。

【分析】此题与之前题型不同&＃xff0c;椭圆方程的焦点是在y轴上的&＃xff0c;而点M依然在x轴上&＃xff0c;看起来之前的结论并不成立。但事实上&＃xff0c;当所过定点不在长轴&＃xff0c;而在短轴时候&＃xff0c;该结论依然成立&＃xff0c;只需要把对应的a^2换成b^2即可&＃xff0c;也是由于结论是在方程的视角下推出的&＃xff0c;所谓长轴短轴自然是无所谓的。即此题的定点坐标应该是(b^2/t&＃xff0c;0)&＃xff0c;此题的详解略&＃xff0c;给出得数&＃xff0c;详细过程大家自行完成。

【答案】(1)略(2)(4,0)

过椭圆外一点P作椭圆的两条切线&＃xff0c;则点P对切点与焦点的张角相等。

即&＃xff1a;∠APF1&＃61;∠BPF2

过双曲线外一点P作椭圆的两条切线&＃xff0c;则点P对切点与焦点的张角相等。

即&＃xff1a;∠APF1&＃61;∠BPF2

过抛物线外一点P作抛物线的两条切线&＃xff0c;则点P对切点与焦点的张角相等。(抛物线的另一个焦点在无穷远处&＃xff0c;即P与另一个焦点的连线平行于对称轴)

即&＃xff1a;∠APF&＃61;∠BPF’

本条结论对于高中数学来讲&＃xff0c;有些高端&＃xff0c;目前未在高考题或模拟中出现过&＃xff0c;这里仅未广大教师群体提供知识上的扩展&＃xff0c;提升教学能力。列举一道练习题&＃xff0c;不在赘述解析。

【例题】过点P(2,0)作抛物线x^2&＃61;4y的切线PA(斜率不为0)&＃xff0c;为焦点&＃xff0c;试研究直线PF、PA、PB斜率的关系。