l2空间的完备性_希尔伯特空间

希尔伯特空间是欧几里德空间的直接推广。定义设H是一个实的线性空间&＃xff0c;如果对H中的任何两个向量x和y&＃xff0c;都对应着一个实数&＃xff0c;记为(x&＃xff0c;y)、满足下列条件&＃xff1a;①对H中的任何两个向量x&＃xff0c;y&＃xff0c;有(x&＃xff0c;y)&＃61;(y&＃xff0c;x);②对H中的任何三个向量x、y、z及实数α、β&＃xff0c;有(αx&＃43;βy&＃xff0c;z)&＃61;α(x&＃xff0c;z)&＃43;β(y&＃xff0c;z);③对H中的一切向量x&＃xff0c;均有(x&＃xff0c;x)≥0&＃xff0c;且(x&＃xff0c;x)&＃61;0的充分必要条件是x&＃61;0。则(x&＃xff0c;y)称为是H上的一个内积&＃xff0c;而H称为内积空间。如果定义反之&＃xff0c;一个赋范线性空间H&＃xff0c;若它的范数满足上述平行四边形公式&＃xff0c;则这个范数必是由定义在H上的某个内积导出的范数。内积还有重要的柯西-施瓦茨不等式&＃xff1a;|(x,y)|<&＃61;||x||*||y||。正交与勾股定理在希尔伯特空间H中&＃xff0c;如果x&＃xff0c;y满足(x,y)&＃61;0&＃xff0c;就称x和y正交(或直交)&＃xff0c;记为x⊥y。当x⊥y时&＃xff0c;成立勾股定理&＃xff1a;||x&＃43;y||^2&＃61;||x||^2&＃43;||y||^2。如果x和H的子集M中任何元都正交&＃xff0c;就称x和M正交&＃xff0c;记为x⊥M。与M正交的所有元素的集合记为M寑。投影定理设M是希尔伯特空间H的凸闭子集&＃xff0c;则对H中每个向量x&＃xff0c;必存在M中惟一的y&＃xff0c;使得||x-y||取到y在M中变化时的最小值。这个性质称为变分定理。特别&＃xff0c;当M是H的闭线性子空间时&＃xff0c;z&＃61;x-y必与M正交&＃xff0c;即对于闭线性子空间M&＃xff0c;分解x&＃61;y&＃43;z不仅惟一&＃xff0c;而且z⊥y。这就是投影定理。其中&＃xff0c;y称为x在M中的投影(分量)。正交系设{ek}是内积空间H中一族彼此不同的向量&＃xff0c;如果其中任何两个向量都正交&＃xff0c;即当k≠j时&＃xff0c;(ek&＃xff0c;ej)&＃61;0&＃xff0c;则称{ek}是一正交系。如果其中每个向量的范数又都是1&＃xff0c;即对一切k&＃xff0c;(ek,ek)&＃61;1&＃xff0c;则称{ek}是规范正交系。对于希尔伯特空间H的规范正交系{ek},如果包含{ek}的最小闭子空间就是H&＃xff0c;就称{ek}为H的完备规范正交系。设{ek}是规范正交系&＃xff0c;则H中任一向量 x在ek方向的投影&＃xff0c;即x在{ek}生成的一维子空间上的投影&＃xff0c;就是Σ(x,ek)ek&＃xff1b;而x在{ek}生成的闭子空间M上的投影就是H。显然有||x||^2<&＃61;Σ|(x,ek)|^2&＃xff0c;即向量 x在某个子空间M上的分量“长度”永不超过x的长度&＃xff0c;它称为贝塞尔不等式。如果{ek}是完备规范正交系&＃xff0c;那么成立着x&＃61;Σ(x,ek)ek(傅里叶展开式)&＃xff0c;||x||^2&＃61;Σ|(x,ek)|^2(帕舍伐尔等式)。里斯表示定理希尔伯特空间H上每个连续线性泛函F&＃xff0c;对应于惟一的y∈H&＃xff0c;使F(x)&＃61;(x,y)&＃xff0c;并且||F||&＃61;||y||&＃xff0c;这就是里斯的连续线性泛函表示定理。因此&＃xff0c;希尔伯特空间的共轭空间与自身(保持范数不变)同构(实际上是一种共轭线性同构)&＃xff0c;即H&＃61;H*。

参考&＃xff1a;https://baike.baidu.com/item/希尔伯特空间/5630049?fr&＃61;aladdin

希尔伯特空间是泛函分析的内容&＃xff0c;数学的浩瀚结构框架似乎正在被我一点点的探索出来。不为别人&＃xff0c;就为自己&＃xff0c;学自己想学的东西。加油&＃xff01;